Équation intégrale

Équation intégrale

Une équation intégrale est une équation dont l'une des indéterminées est une intégrale. Elles sont importantes dans plusieurs domaines physiques. Les équations de Maxwell sont probablement leurs plus célèbres représentants. Elles apparaissent dans des problèmes des tranferts d'énergie radiative et des problèmes d'oscillations d'une corde, d'une membrane ou d'un axe. Les problèmes d'oscillation peuvent aussi être résolus à l'aide d'équations différentielles.

Sommaire

Exemples

Équation de Fredholm du premier type

L'une des équations intégrales les plus simples est l'équation intégrale de Fredholm du premier type :

f(x) = \int_a^b K(x,t)\,\phi(t)\,dt

La notation est celle d'Arfken et Weber. Ici \phi\, est la fonction inconnue, f est une fonction connue et K une autre fonction connue à deux variables, souvent appelée la fonction opérateur intégral du noyau. Les limites d'intégration sont constantes. C'est la caractéristique principale d'une équation de Fredholm.

Équation de Fredholm du second type

Si la fonction inconnue apparaît à la fois à l'intérieur et à l'extérieur de l'intégrale, alors il s'agit de l'équation intégrale de Fredholm du second type:

\phi(x) = f(x) + \lambda \int_a^b K(x,t)\,\phi(t)\,dt

Le paramètre λ est un facteur inconnu, qui joue le même rôle que la valeur propre en algèbre linéaire.

Équation de Volterra du premier type

Si l'une des limites d'intégration est variable, il s'agit d'une équation intégrale de Volterra. Des équations du premier et du second type de Volterra pourraient être :

f(x) = \int_a^x K(x,t)\,\phi(t)\,dt
\phi(x) = f(x) + \lambda \int_a^x K(x,t)\,\phi(t)\,dt

Caractéristiques

Si la fonction connue f est identiquement zéro, l'équation intégrale est alors appelée « équation intégrale homogène ». Si elle est différente de zéro, elle est appelée « équation intégrale non-homogène ».

Ces équations sont classées selon trois dichotomies :

  • Limites d'intégration
    • les deux fixées : équation de Fredholm
    • l'une variable : équation de Volterra
  • Place de la fonction inconnue
    • seulement à l'intérieur de l'intégrale : premier type
    • à l'intérieur et à l'extérieur de l'intégrale : second type
  • Nature de la fonction connue f
    • identiquement zéro : homogène
    • différente de zéro : non-homogène

Références

  • George Arfken et Hans Weber, Mathematical Methods for Physicists, Harcourt/Academic Press, 2000.
  • Andrei D. Polyanin et Alexander V. Manzhirov, Handbook of Integral Equations, CRC Press, Boca Raton, 1998. (ISBN 0-8493-2876-4).
  • E. T. Whittaker et G. N. Watson, A Course of Modern Analysis, Cambridge Mathematical Library (ISBN 0-521-58807-3).

Liens externes


Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Équation intégrale de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем написать курсовую

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Equation integrale — Équation intégrale Une équation intégrale est une équation dont l une des indéterminées est une intégrale. Elles sont importantes dans plusieurs domaines physiques. Les équations de Maxwell sont probablement leurs plus célèbres représentants.… …   Wikipédia en Français

  • Équation intégrale — ● Équation intégrale équation fonctionnelle dans laquelle la fonction inconnue figure dans une ou dans des intégrales …   Encyclopédie Universelle

  • équation intégrale — integralinė lygtis statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. integral equation vok. Integralgleichung, f rus. интегральное уравнение, n pranc. équation intégrale, f …   Automatikos terminų žodynas

  • équation intégrale — integralinė lygtis statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. integral equation vok. Integralgleichung, f rus. интегральное уравнение, n pranc. équation intégrale, f …   Fizikos terminų žodynas

  • Équation intégrale de Fredholm — En mathématiques, l équation intégrale de Fredholm est une équation intégrale étudiée par Ivar Fredholm. La caractéristique principale d une équation de Fredholm est que les bornes d intégration sont constantes. Son étude donne naissance à la… …   Wikipédia en Français

  • noyau d’une équation intégrale — integralinis branduolys statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. integral kernel; kernel of integral equation vok. Integralkern, m; Kern der Integralgleichung, m rus. интегральное ядро, n; ядро интегрального уравнения, n pranc. noyau d’une… …   Fizikos terminų žodynas

  • Integrale de chemin — Intégrale de chemin Une intégrale de chemin («path integral» en anglais) est une intégrale fonctionnelle, c est à dire que l intégrant est une fonctionnelle et que la somme est prise sur des fonctions, et non sur des nombres réels (ou complexes)… …   Wikipédia en Français

  • Intégrale De Chemin — Une intégrale de chemin («path integral» en anglais) est une intégrale fonctionnelle, c est à dire que l intégrant est une fonctionnelle et que la somme est prise sur des fonctions, et non sur des nombres réels (ou complexes) comme pour les… …   Wikipédia en Français

  • intégrale — ● intégrale nom féminin Œuvre complète d un écrivain, d un musicien : L intégrale des cantates de Bach. Limite, lorsqu elle existe, de sommes d un nombre indéfiniment croissant d éléments indéfiniment petits construits en divisant indéfiniment le …   Encyclopédie Universelle

  • Equation de Fokker-Planck — Équation de Fokker Planck L équation de Fokker Planck est une équation aux dérivées partielles linéaire que doit satisfaire la densité de probabilité de transition d un processus de Markov. A l origine, une forme simplifiée de cette équation a… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”