Équation intégrale

Équation intégrale

Une équation intégrale est une équation dont l'une des indéterminées est une intégrale. Elles sont importantes dans plusieurs domaines physiques. Les équations de Maxwell sont probablement leurs plus célèbres représentants. Elles apparaissent dans des problèmes des tranferts d'énergie radiative et des problèmes d'oscillations d'une corde, d'une membrane ou d'un axe. Les problèmes d'oscillation peuvent aussi être résolus à l'aide d'équations différentielles.

Sommaire

Exemples

Équation de Fredholm du premier type

L'une des équations intégrales les plus simples est l'équation intégrale de Fredholm du premier type :

f(x) = \int_a^b K(x,t)\,\phi(t)\,dt

La notation est celle d'Arfken et Weber. Ici \phi\, est la fonction inconnue, f est une fonction connue et K une autre fonction connue à deux variables, souvent appelée la fonction opérateur intégral du noyau. Les limites d'intégration sont constantes. C'est la caractéristique principale d'une équation de Fredholm.

Équation de Fredholm du second type

Si la fonction inconnue apparaît à la fois à l'intérieur et à l'extérieur de l'intégrale, alors il s'agit de l'équation intégrale de Fredholm du second type:

\phi(x) = f(x) + \lambda \int_a^b K(x,t)\,\phi(t)\,dt

Le paramètre λ est un facteur inconnu, qui joue le même rôle que la valeur propre en algèbre linéaire.

Équation de Volterra du premier type

Si l'une des limites d'intégration est variable, il s'agit d'une équation intégrale de Volterra. Des équations du premier et du second type de Volterra pourraient être :

f(x) = \int_a^x K(x,t)\,\phi(t)\,dt
\phi(x) = f(x) + \lambda \int_a^x K(x,t)\,\phi(t)\,dt

Caractéristiques

Si la fonction connue f est identiquement zéro, l'équation intégrale est alors appelée « équation intégrale homogène ». Si elle est différente de zéro, elle est appelée « équation intégrale non-homogène ».

Ces équations sont classées selon trois dichotomies :

  • Limites d'intégration
    • les deux fixées : équation de Fredholm
    • l'une variable : équation de Volterra
  • Place de la fonction inconnue
    • seulement à l'intérieur de l'intégrale : premier type
    • à l'intérieur et à l'extérieur de l'intégrale : second type
  • Nature de la fonction connue f
    • identiquement zéro : homogène
    • différente de zéro : non-homogène

Références

  • George Arfken et Hans Weber, Mathematical Methods for Physicists, Harcourt/Academic Press, 2000.
  • Andrei D. Polyanin et Alexander V. Manzhirov, Handbook of Integral Equations, CRC Press, Boca Raton, 1998. (ISBN 0-8493-2876-4).
  • E. T. Whittaker et G. N. Watson, A Course of Modern Analysis, Cambridge Mathematical Library (ISBN 0-521-58807-3).

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