- Équation de la cafetière
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L'équation de la cafetière est, de manière usuelle, une équation différentielle linéaire d'ordre un à coefficients constants, correspondant à une variation de concentration (massique ou molaire) lors d'une opération de dilution par exemple.
Mise en équation (cas de concentrations molaires)
Soit un récipient de volume constant V, contenant initialement un volume V d'une solution de concentration C0. On verse dans ce récipient avec un débit volumique Q une solution de concentration constante K. Selon quelle fonction évolue la concentration c(t) à l'intérieur du récipient ?
Soit n(t) la quantité d'éléments en solution. A chaque instant, on a donc :
Le récipient étant de volume constant V, la variation de quantité d'éléments en solution dn, pendant un instant dt, est égal à la différence entre la quantité introduite (Q * K * dt,) et la quantité qui s'en échappe (Q * c(t) * dt,) :
D'où :
Et comme c(0) = C0, on a finalement :
Remarque : Lorsque t tend vers l'infini, la concentration dans le récipient tend bien vers K.
Application
Cette équation traduit notamment l'évolution de la concentration de café dans une cafetière placée dans un évier, lorsqu'on y fait couler de l'eau claire ; c'est d'ailleurs cette application qui lui donne son nom.
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