Triangle de Sierpiński

Triangle de Sierpiński

Le triangle de Sierpiński, aussi appelé par Mandelbrot le joint de culasse de Sierpiński, est une fractale, du nom de Wacław Sierpiński.

Il peut s'obtenir à partir d'un triangle « plein » (cf. l'algorithme 2 ci-dessous), par une infinité d'itérations consistant à diviser par deux la taille du triangle puis à en juxtaposer trois exemplaires par leurs sommets pour former un nouveau triangle. À chaque itération le triangle est donc de même taille, mais « de moins en moins plein ».

Construction

Algorithme 1

Un algorithme pour obtenir des approximations arbitrairement proches du triangle de Sierpiński peut s'écrire de la manière suivante :

1. Commencer à partir d'un triangle quelconque du plan. Le triangle canonique de Sierpiński se construit à partir d'un triangle équilatéral ayant une base parallèle à l'axe des abscisses.
2. Tracer les trois segments qui joignent deux à deux les milieux des côtés du triangle, ce qui délimite 4 nouveaux triangles.
3. Enlever le petit triangle central. Il y a maintenant trois petits triangles qui se touchent deux à deux par un sommet, dont les longueurs des côtés sont la moitié de celles du triangle de départ (obtenue par une homothétie de rapport 1/2), et dont l'aire est divisée par 4.
4. Recommencer à la deuxième étape avec chacun des petits triangles obtenus.

La fractale s'obtient après un nombre infini d'itérations. À chaque étape, l'aire de l'ensemble diminue, elle est multipliée par 3/4.

Algorithme 2

Avec l'algorithme 1, le nombre de triangles à traiter se multiplie de manière exponentielle (x 3 à chaque étape : 1, puis 3, puis 9, puis 27, etc. : 3^n-1 après la n^e étape). On peut obtenir le même résultat par une méthode équivalente (mais plus facile à formaliser et calculer) : appliquer trois homothéties de rapport 1/2 et de centre chacun des sommets de la figure, et tracer la nouvelle figure comme union des trois résultats. De cette façon, à chaque étape, il n'y a que trois opérations à faire.

En outre, on peut caractériser le triangle de Sierpiński comme étant l'ensemble laissé fixe par cette transformation, qu'on peut noter h_a U h_b U h_c, où h_x l'homothétie de rapport 1/2 de centre x, et où a, b et c sont les sommets du triangle initial.

Cela implique que si on applique l'itération infinie de l'opération h_a U h_b U h_c à un ensemble fini quelconque, et a, b et c trois points distincts, on obtient (les images « convergent » vers) le triangle de Sierpiński de sommets a, b et c. Le triangle de Sierpiński est un attracteur de trois homothéties de rapport 1/2 centrées aux sommets.

Algorithme 3

Une autre propriété intéressante se révèle si on considère un point quelconque. Ce point constitue un ensemble auquel on peut appliquer les opérations h_a, h_b et h_c. Ainsi, la suite des points obtenus forment un ensemble dense dans le triangle de Sierpiński. On peut même se contenter de n'appliquer qu'une des opérations h_a, h_b et h_c, choisie aléatoirement à chaque étape. Ainsi l'algorithme suivant génèrera des approximations arbitrairement proches du triangle de Sierpiński :

On considère un point pris au hasard v₁. On pose v_{n + 1}= 1/2 (v_n + p_n), où p_n est un point aléatoire égal à a, b ou c. On place les points v₁ jusqu'à v_∞. Si le point initial v₁ est un point du triangle de Sierpiński, alors tous les points v_n appartiennent au triangle de Sierpinski. Si le premier point v₁ se trouve dans le périmètre du triangle et n'est pas un point du triangle de Sierpiński, alors aucun des points v_n n'appartient au triangle de Sierpiński, cependant la suite des points v_n converge vers un point du triangle de Sierpiński. Même si v₁ est hors du triangle, alors la probabilité qu'il existe un point de la suite à partir duquel tous les points sont dans le triangle a, b, c, est égale à 1, et ils seront alors soit tous dans le triangle de Sierpiński, soit tous en dehors mais en s'en rapprochant aussi arbitrairement que souhaité.

Algorithme 4

Si on le construit à partir d'un triangle de Pascal avec 2ⁿ lignes et que l'on colore les nombres pairs en blanc et les nombres impairs en noir, alors le résultat est une approximation du triangle de Sierpiński.

triangle de Sierpiński avec sept itérations

Dimension

Le triangle de Sierpiński a une dimension fractale ou une dimension de Hausdorff égale à log 3 / log 2, égal à environ 1,585, ce qui vient du fait qu'il est la réunion de trois copies de lui-même, chacune étant réduite d'un facteur 1/2.

Programme en Ti-BASIC

:Prompt A                                     On donne le nombre de points que l'on veut, il en faut entre 1000
:FnOff                                        // et 2400 pour y voir quelque chose
:ClrDraw                                      Efface les fonctions, les dessins, 
:AxesOff                                      enlève les axes
:PlotsOff                                     Efface les graphes
:0->Xmin:1->Xmax                              Cadre l'axe des x
:0->Ymin:1->Ymax                              Cadre l'axe des y
:rand->X                                      Un rationnel aléatoire entre 0 (compris) et 1 (exclu) devient X
:rand->Y                                      Idem pour Y
:For(K,1,A)                                   Une boucle inconditionnelle comportant A étape
:rand->N                                      Idem pour N
:If N<=(1/3)                                  Selon la 'position' de N par rapport à 1/3 et 2/3, on fait des boucles sur X, et Y
:Then
:(X/2)->X
:(Y/2)->Y
:End
:If (1/3)<N and N<=(2/3)
:Then
:0.5(0.5+X)->X
:0.5(1+Y)->Y
:End
:If (2/3)<N
:Then
:0.5(1+X)->X
:0.5Y->Y
:End
:Pt-On(X,Y)                                   Affiche le point de coordonnées (X,Y) dans le repère [0..1 ; 0..1] défini plus haut
:End
:StorePic Pic1                                Affiche le résultat a chaque étape, le programme s'arrete au bout d'environ 3min.

Illustration

Logo de l'École des Ponts ParisTech

Le logo de l'École des Ponts ParisTech représente un triangle de Sierpiński au bout de la deuxième itération.

La Triforce

La Triforce, symbole ultime de la saga vidéoludique The Legend of Zelda, représente quant à elle la première itération du triangle de Sierpiński. Chacune de ses parties représente respectivement la Force, le Courage et la Sagesse, dont l'union permet de réaliser n'importe quel voeu.

Voir aussi

Articles connexes

• Tapis de Sierpinski, une construction similaire de rectangles
• Liste de fractales par dimension de Hausdorff
• jeu du chaos

Liens externes

• (en) Sierpinski's Triangle
• (en) Xscreensaver contient des modules pour afficher des versions animées du triangle de Sierpiński en deux et en trois dimensions, pour X Window.

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