Triangle de Johnson

Triangle de Johnson

Cercles de Johnson

Cercles de Johnson et cercle circonscrit aux trois points d'intersection

En géométrie plane, les cercles de Johnson sont trois cercles de même rayon et ayant un point en commun. Les trois autres point d'intersection des cercles entre eux possèdent de nombreuses propriétés.

Il se peut, dans le cas où deux des cercles sont tangents qu'un des points soient confondu avec H mais, même dans ce cas particuliers, les résultats énoncés ci-dessous restent valides.

Sommaire

Théorème de Johnson

Roger Johnson démontre vers 1916[1] que ces trois points sur sur un cercle de même rayon que les trois premiers cercles.

Démonstration : Une démonstration consiste à mettre en évidence une série de losanges.

Cercles de Johnson avec les trois losanges complétés par le point O qui donne l'illusion d'un dessin de cube en perspective

Si on appelle JA, JB, JC les centres des trois cercles Γa, Γb, Γc de rayon r, H leur point de concours et A, B et C les points d'intersections respectifs de Γb etΓc, de Γc et Γa, de Γa et Γb, on observe la présence de trois losanges de côté r :

JACJBH, JBHJCA, JCHJAB

On construit alors le point O tel que BJACO soit un parallélogramme. Ce parallélogramme ayant deux côtés consécutifs de longueur r c'est un losange de côté r.

De plus, on obtient les égalités vectorielles suivantes :

 \overrightarrow{OC}= \overrightarrow{BJ_A}= \overrightarrow{J_CH} =\overrightarrow{AJ_B}

Le quadrilatère AJBCO est donc un parallélogramme, ce parallélogramme possède deux côtés consécutifs de longueur r. C'est donc un losange de côté r.

On obtient ainis les égalités

r = OA = OB = OC

On prouve ainsi que les trois points sont sur un cercle de centre O et de rayon r.

Système orthocentrique

On peut d'autre part observer que le point H est hauteur du triangle ABC.

En effet, dans les losanges définis précédemment, le vecteur \scriptstyle \overrightarrow{HC} est orthogonal à la droite (JAJB). Or les égalités vectorielles précédentes permettent de dire que le quadrilatère BJAJBA est un parallélogramme. Le vecteur \scriptstyle \overrightarrow{HC} est donc aussi orthogonal à (AB).

Il en est de même du vecteur \scriptstyle \overrightarrow{HB} et de la droite (AC) ainsi que du vecteur \scriptstyle \overrightarrow{HA} et de la droite (BC). Le point H est bien hauteur du triangle (ABC).

Triangle de Johnson

On appelle triangle de Johnson, le triangle formé par le centre des trois cercles. Ce triangle est le symétrique du triangle formé par les point d'intersection des trois cercles. Le centre de cette symétrie est le centre du cercle des neuf points commun aux deux triangles.

Cercles de Johnson et triangle anticomplémentaire

Démonstration: Si on appelle PA, PB, PC, les point diamétralement opposés à H dans les cercles Γa, Γb, Γc, le point H est centre du cercle circonscrit au triangle PAPBPC.

Puisque JAHJBC est un parallélogramme, il en est de même de PAJAJBC. Il y a donc égalité des vecteurs \scriptstyle \overrightarrow{J_AJ_B} et \scriptstyle \overrightarrow{P_AC}. De même, les vecteurs \scriptstyle \overrightarrow{J_AJ_B} et \scriptstyle \overrightarrow{CP_B} sont égaux. Le point C est donc milieu de PAPB. De même, le point B est milieu de PCPA et le point A est donc milieu de PCPB.

Le triangle PAPBPC est l'image du triangle (ABC) par l'homothétie de centre G centre de gravité du triangle et de rapport -2. Le triangle JAJBJC étant l'image du triangle PAPBPC par l'homothétie de centre H et de rapport 1/2, il est aussi l'image de (ABC) par la composée de ces deux homothéties, c'est à dire par une homothétie de rapport -1 et de centre J barycentre des points G et H affectés des coefficients -3/2 et -1/2. Or ce point correspond au centre du cercle des neufs points du triangle ABC. Par symétrie, c'est aussi le centre du cercle des neufs points du triangle de Johnson.

On peut remarquer en outre que les deux triangles ont même droite d'Euler qui, passant par J, reste globalement invariante par la symétrie de centre J et que les point O et H, centres respectifs des cercles circonscrits aux deux triangles sont également symétriques par rapport à ce point.

Notes et références

  1. David Wells, dans le Dictionnaire Penguin des curiosités géométriques.

Lien externe

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