Transversalite

Transversalite

Transversalité

En algèbre linéaire et en géométrie différentielle, la propriété de transversalité est un qualificatif pour l'intersection de sous-espaces ou de sous-variétés. Elle est en quelque sorte l'opposé de la notion de tangence.

Deux sous-espaces vectoriels F, G d'un espace vectoriel E sont dits transverses quand F + G = E. Cette condition peut être réécrite, le cas échéant, en termes de codimension :

\operatorname{codim}(F) + \operatorname{codim}(G)=\operatorname{codim} (F\cap G).

Deux sous-espaces affines Y, Z d'un espace affine X sont dites transverses si leurs directions sont transverses, c'est-à-dire si

\overrightarrow{Y}+\overrightarrow{Z}=\overrightarrow{X}.

Deux sous-variétés M et N d'une variété différentielle P sont dits transverses lorsque, pour tout point x de M\cap N, les espaces tangents \displaystyle T_xM et \displaystyle T_xN sont transverses dans l'espace tangent \displaystyle T_xP, c'est-à-dire si

\displaystyle T_xP=T_xM + T_xN

Dans la suite, m,n,p désignent les dimensions respectives de M,N,P.

Remarques :

  • La définition reste valable pour les variétés banachiques.
  • Deux sous-variétés disjointes sont transverses.
  • Si m + n < p, alors la condition de transversalité ne peut être vérifiée seulement si les sous-variétés M et N sont disjointes.

Théorème — Une intersection transverse et non vide M\cap N est une sous-variété différentielle de dimension m + n − p.

On a donc dans ce cas les relations

\operatorname{dim} (M\cap N) = \operatorname{dim}(M) + \operatorname{dim}(N)-\operatorname{dim}(P).
\operatorname{codim} (M\cap N) = \operatorname{codim}(M) + \operatorname{codim}(N).

Par exemple, deux surfaces régulières de l'espace à trois dimensions sont transverses si et seulement si elles n'ont aucun point de tangence. Dans ce cas, leur intersection forme une courbe régulière (éventuellement vide).

Nombre d'intersection

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Généricité

Théorème — Si M et N sont deux sous-variétés de classe Ck (\scriptstyle k\geq 1) de dimensions respectives m et n, alors il existe un Ck-difféomorphisme h de P, aussi proche de l'identité que souhaité en topologie Ck, tel que h(M) intersecte transversalement N.

En général, deux sous-variétés s'intersectent transversalement, quitte à perturber l'une d'elles par une isotopie.

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