- Théorème des deux lunules
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Les lunules sont en bleu.
Le théorème des deux lunules est un ancien théorème de géométrie plane.
Sommaire
Histoire
Ce théorème, très ancien, a été démontré par Hippocrate de Chios (-500), qui étudia aussi la duplication du cube, c’est-à-dire le calcul de la racine cubique de 2 (ne pas le confondre avec Hippocrate de Cos, le médecin). Les deux lunules sont aussi appelées lunules d'Hippocrate. Il recherchait alors la quadrature du cercle et pensait que la quadrature de ses lunules allait le rapprocher du but[1].
Définition
Une lunule est une portion de surface délimitée par deux cercles non concentriques de rayons différents, formant un croissant de lune en forme de ménisque : convexe d’un côté et concave de l’autre.
Énoncé
Soit le triangle ABC rectangle en B et
le cercle circonscrit à ABC (de diamètre AC).La lunule LBC est la figure formée par le demi-disque de diamètre BC extérieur au triangle ABC, auquel on enlève son intersection avec le disque délimité par
.La lunule LBA est la figure formée par le demi-disque de diamètre BA extérieur au triangle ABC, auquel on enlève son intersection avec le disque délimité par
.Alors la somme des aires de LBC et de LBA (en bleu sur la figure) est égale à l'aire du triangle ABC (en vert).
Démonstration
Soit un triangle ABC rectangle en B
Les deux petites parties blanches sont le demi-disque de diamètre AC privé du triangle ABC. La somme de leurs aires est donc Aire(AC) − Aire(ABC).
Les deux lunules sont les deux demi-disques de diamètre AB et BC privés de ces parties blanches. La somme de leurs aires est donc
Pour montrer le théorème, il suffit donc de montrer que Aire(AB) + Aire(BC) − Aire(AC) = 0, c'est-à-dire que la somme des aires des deux demi-disques de diamètre AB et BC est égale à l'aire du demi-disque de diamètre AC.
Or le théorème de Pythagore nous dit que
Donc en multipliant par
on ace qui est l'égalité des aires recherchée.
Notes et références
- Jean Etienne Montucla, Histoire des recherches sur la quadrature du cercle, Chap. II, sections IV et V, 1754
Article connexe
Catégories :- Théorème de géométrie
- Aire
- Géométrie du triangle
- Cercle et sphère
![\begin{align}\text{Aire}(L_{BC})+\text{Aire}(L_{BA})&=\text{Aire}(AB) + \text{Aire}(BC)-\left[\text{Aire}(AC)-\text{Aire}(ABC)\right]\\&=\left[\text{Aire}(AB) + \text{Aire}(BC)-\text{Aire}(AC)\right]+\text{Aire}(ABC).\end{align}](e/2ae27efffdd98b97ca0995a017ca8448.png)
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