Théorème de relèvement

Théorème de relèvement

Le théorème de relèvement[réf. nécessaire] est employé lors de l'étude de fonctions réelles à valeurs complexes. Il peut s'énoncer de la façon suivante :

Si f est une fonction continue sur un intervalle I de \mathbb R à valeurs dans le cercle unité \mathbb U du plan complexe, alors il existe une application θ continue sur I à valeurs dans \mathbb R telle que :
\forall {t} \in {I},\ {f(t) = \exp(i \theta(t))}

On dit alors que θ est un relèvement de f. Si notre fonction f est une fonction à valeurs complexes mais qui ne s'annule pas sur son intervalle de définition, ce théorème nous permet de la mettre sous forme polaire :

\forall {t} \in {I},\ {f(t) = |f(t)| \exp(i \theta(t))}

Compléments

Deux relèvements de f diffèrent d'une constante de la forme 2kπ où k est un entier relatif.

Si la fonction f est de classe Ck avec k un entier naturel, alors il existe un relèvement θ de f de classe Ck.

Méthodes de démonstration

Pour k > 0 la démonstration consiste à dériver la relation puis à définir θ par une intégrale.

Pour k = 0 la démonstration est sensiblement différente et fait appel à différentes notions de topologie, par exemple la continuité uniforme ou le lemme de Cousin.

Voir aussi


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