Courbe Pseudoholomorphe

Courbe pseudoholomorphe

En topologie et en géométrie, une courbe pseudoholomorphe est une application d'une surface de Riemann, éventuellement à bord, dans une variété presque complexe satisfaisant les équations de Cauchy-Riemann. La régularité est imposée par la régularité de la structure presque complexe utilisée.

Introduites en 1985 par Mikhaïl Gromov, elles jouent un rôle central en géométrie symplectique, et interviennent en particulier dans la définition de l'homologie de Floer.

Définition

Dans tout l'article, J désigne une structure presque complexe de classe C^k sur une variété différentielle M : autrement dit, J est un champ d'opérateurs sur l'espace tangent de M de classe C^k vérifiant J²=-Id. $Σ$ est une surface de Riemann, éventuellement à bord ; j désigne la structure presque complexe associée. Par le théorème d'uniformisation, j équivaut à la donnée d'une structure conforme. Au besoin est introduit une forme d'aire dv sur la surface $Σ$ , ce qui équivaut à spécifier une métrique riemannienne.

Une courbe pseudoholomorphe est une application ( $Σ$ ,j) $\rightarrow$ (M,J) vérifiant l'identité :

$du\circ j=J\circ du$ .

Cette identité signifie exactement que la différentielle du:T $\Sigma\rightarrow$ TM est un morphisme de fibrés vectoriels complexes.

La question de la régularité de u dans la définition est secondaire. L'application u est nécessairement de classe C^k-1.

Énergie

En géométrie symplectique, étant donné une forme symplectique $ω$ , il est d'usage courant d'introduire une structure presque complexe J qui soit $ω$ -compatible.

$E(u)=\int_{\Sigma}\frac{\|du\|^2}{2}dv=\int_{\Sigma}f^*\omega$

Une premier point important est que la finitude de l'énergie autorise le prolongement des courbes pseudoholomorphes en les points où elles ne sont pas définies :

Théorème du relèvement des singularités — Soient (M, $ω$ ) une variété symplectique compacte, et J une structure presque complexe $ω$ -compatible. Soit une courbe pseudoholomorphe u de domaine un voisinage ouvert apointé V-{0} de 0 dans C. Si u est d'énergie finie, autrement dit, si

$\int_{V-\{0\}}f^*\omega<\infty$

Alors u se prolonge (par continuité) en 0 en une courbe pseudoholomorphe définie sur V.

La preuve s'appuie sur des arguments de nature analytique. Par exemple, sous les hypothèses du théorème précédent, une courbe pseudoholomorphe C $\rightarrow$ (M,J) d'énergie finie se prolonge en une sphère pseudoholomorphe S²=C $\cup\{\infty\}\rightarrow$ (M,J).

Un deuxième point important est une propriété de quantification de l'énergie des sphères pseudoholomorphes :

Théorème - Soient une variété symplectique compacte (M, $ω$ ) et J une structure presque complexe $ω$ -compatible. Alors il existe un nombre fini de classes d'homotopie A dans H₂(M,Z), telles que A puisse être représentée par une sphère pseudoholomorphe d'énergie inférieure à c.

Ce résultat reste valable en remplaçant J par une famille compacte de structures presque complexes $ω$ -compatibles.

Stabilité

Les courbes pseudoholomorphes présentent des propriétés de stabilité ou de compacité.

Soient une variété compacte M, et une suite J_n de structures presque complexes de classe C convergent vers J au sens de la topologie C. Pour une surface de Riemann $Σ$ , soit une suite de courbes pseudoholomorphes u_n: $\Sigma\rightarrow$ (M,J_n) telles que :

$\sup_n\|du_n\|_{L^{\infty}(K)} <\infty$

pour tout compact K de $Σ$ . Alors, la suite u_n admet une sous-suite qui converge uniformément ainsi que toutes ses dérivées sur tout compact de $Σ$ . La limite u est nécessairement une courbe pseudoholomorphe $\Sigma\rightarrow$ (M,J).

Portail de la géométrie

Ce document provient de « Courbe pseudoholomorphe ».

Catégories : Géométrie symplectique | Courbe

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Courbe Pseudoholomorphe de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужно сделать НИР?

Regardez d'autres dictionnaires:

Courbe pseudoholomorphe — En topologie et en géométrie, une courbe pseudoholomorphe est une application d une surface de Riemann, éventuellement à bord, dans une variété presque complexe satisfaisant les équations de Cauchy Riemann. La régularité est imposée par la… … Wikipédia en Français
Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques — Cette page n est plus mise à jour depuis l arrêt de DumZiBoT. Pour demander sa remise en service, faire une requête sur WP:RBOT Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou… … Wikipédia en Français
Liste des articles de mathematiques — Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou probabilités et statistiques via l un des trois bandeaux suivants … Wikipédia en Français
Surface de Riemann — Pour les articles homonymes, voir Surface. En géométrie différentielle et géométrie analytique complexe, une surface de Riemann est une variété complexe de dimension 1. Par oubli de structure, une surface de Riemann se présente comme une variété… … Wikipédia en Français
Surface de riemann — Pour les articles homonymes, voir Surface (homoymie). En géométrie différentielle, une surface de Riemann est une variété différentielle analytique complexe de dimension 1. Par oubli de structure, une surface de Riemann se présente comme une… … Wikipédia en Français

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Courbe Pseudoholomorphe