Théorème de gelfand-mazur

Théorème de Gelfand-Mazur

Toute algèbre de Banach $\mathbb A$ sur le corps des complexes qui est un corps est isomorphe au corps complexe.

Démonstration:
Il suffit de montrer que tout $x\in\mathbb A\quad (x\ne 0)$ peut s'écrire $\quad x=\mu.e$ où $\quad e$ est l'unité de $\mathbb A$ et $\quad \mu$ un nombre complexe.
Supposons que $\forall\mu\in\mathbb C\quad x\ne\mu.e$ et $\quad x^{-1}\ne \mu.e\qquad\quad \forall\lambda\in\mathbb C\quad e-\lambda x$ et $\quad e-\lambda x^{-1}$ sont donc inversibles.
Il en résulte que les fonctions $\quad \lambda\mapsto (e-\lambda x)^{-1}$ et $\quad \lambda\mapsto (e-\lambda x^{-1})^{-1}$ sont analytiques sur $\mathbb C$ .
Les rayons de convergence des séries entières développantes $\sum \lambda^n x^n$ et $\sum \lambda^n x^{-n}$ sont infinis et donc $\quad \lim_{n\to\infty} (\|x^n\|)^{1/n} = \lim_{n\to\infty} (\|x^{-n}\|)^{1/n} =0$
Donc $\forall \epsilon\in [0,1[\quad \exists N\in\mathbb N\qquad n>N\quad\Rightarrow \|x^n\|<\epsilon^n$ et $\quad\|x^{-n}\|<\epsilon^n$
Mais $\quad x^n.x^{-n}=e$ et donc $\quad 1=\|x^n.x^{-n}\| \leq \|x^n\|\|x^{-n}\|<\epsilon^{2n}$ , ce qui est contradictoire.
Ainsi $\quad \exists \lambda\in\mathbb C\quad e-\lambda x=0$ ou $\quad e-\lambda x^{-1}=0$ et donc $\quad x=\lambda e$ ou $\quad x=\lambda ^{-1} e$ .

Remarque : Si on utilise que le spectre d'un élément d'une algèbre de Banach n'est jamais vide, on peut obtenir le résultat de la façon suivante. Soit $λ$ une valeur spectrale de $x$ . Comme $x - λ$ n'est pas inversible, $x - λ = 0$ (car le seul élément non inversible dans un corps est $0$ ).

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Catégories : Analyse fonctionnelle | Théorème de mathématiques

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