Theoreme de Gelfand-Mazur

Theoreme de Gelfand-Mazur

Théorème de Gelfand-Mazur

Toute algèbre de Banach \mathbb A sur le corps des complexes qui est un corps est isomorphe au corps complexe.

Démonstration:
Il suffit de montrer que tout x\in\mathbb A\quad (x\ne 0) peut s'écrire \quad x=\mu.e où \quad e est l'unité de \mathbb A et \quad \mu un nombre complexe.
Supposons que \forall\mu\in\mathbb C\quad x\ne\mu.e et \quad x^{-1}\ne \mu.e\qquad\quad \forall\lambda\in\mathbb C\quad e-\lambda x et \quad e-\lambda x^{-1} sont donc inversibles.
Il en résulte que les fonctions \quad \lambda\mapsto (e-\lambda x)^{-1} et \quad \lambda\mapsto (e-\lambda x^{-1})^{-1} sont analytiques sur \mathbb C.
Les rayons de convergence des séries entières développantes \sum \lambda^n x^n et \sum \lambda^n x^{-n} sont infinis et donc \quad \lim_{n\to\infty} (\|x^n\|)^{1/n} = \lim_{n\to\infty} (\|x^{-n}\|)^{1/n} =0
Donc \forall \epsilon\in [0,1[\quad \exists N\in\mathbb N\qquad n>N\quad\Rightarrow \|x^n\|<\epsilon^n et \quad\|x^{-n}\|<\epsilon^n
Mais \quad x^n.x^{-n}=e et donc \quad 1=\|x^n.x^{-n}\| \leq \|x^n\|\|x^{-n}\|<\epsilon^{2n}, ce qui est contradictoire.
Ainsi \quad \exists \lambda\in\mathbb C\quad e-\lambda x=0 ou \quad e-\lambda x^{-1}=0 et donc \quad x=\lambda e ou \quad x=\lambda ^{-1} e.

Remarque : Si on utilise que le spectre d'un élément d'une algèbre de Banach n'est jamais vide, on peut obtenir le résultat de la façon suivante. Soit λ une valeur spectrale de x. Comme x − λ n'est pas inversible, x − λ = 0 (car le seul élément non inversible dans un corps est 0).

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