Théorème de Viviani
- Théorème de Viviani
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Figure du théorème de Viviani
Le théorème de Viviani est un théorème de géométrie euclidienne portant sur le triangle équilatéral. Son nom provient du mathématicien italien Vincenzo Viviani.
Ce théorème est un cas particulier du théorème d'Erdős-Mordell.
Énoncé
Théorème de Viviani — Dans un triangle équilatéral, la somme des distances d'un point intérieur au triangle aux trois côtés est égale à la hauteur du triangle.
Démonstration
Soient ABC un triangle équilatéral de côté a et P un point intérieur à ce triangle. On note h la hauteur du triangle, et l, m et n les distances de P aux côtés du triangle, respectivement [AB], [AC] et [BC].
On note A(ABC) l'aire du triangle ABC. Par construction :
- A(ABC) = A(ABP) + A(ACP) + A(BCP)
- h = l + m + n
C'est ce qu'il fallait démontrer.
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2010.
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