Théorème de Sarkovskii

Le théorème de Sarkovskii est un théorème de mathématiques portant sur l'itération des fonctions continues. Il donne des contraintes sur la présence de points périodiques lorsqu'on itère la fonction f, c'est-à-dire de points x₀ tels que la suite x_n+1=f(x_n) correspondante soit périodique.

Ce théorème fait partie des premiers exemples remarquables de la théorie des systèmes dynamiques, introduisant la notion de chaos. Sa popularité est telle qu'il se retient souvent sous la forme d'un « slogan », correspondant à un énoncé simplifié :

3-cycle implique chaos

Il faut comprendre par là que toute fonction continue présentant un cycle de période 3 admet un cycle de période n pour tout entier n.

Forme générale du théorème

Avant de l'exposer, nous devons d'abord définir l'ordre de Sarkovskii.

L'ordre de Sarkovskii est une relation d'ordre définie sur les entiers strictement positifs de la façon suivante :

$3 \;\triangleleft\; 5 \;\triangleleft\; 7 \;\triangleleft\; \ldots \;\triangleleft\; 2\times 3 \;\triangleleft\; 2\times 5 \;\triangleleft\; 2\times 7 \;\triangleleft\; \ldots \;\triangleleft\; 2^n\times 3 \;\triangleleft\; 2^n\times 5 \;\triangleleft\; 2^n\times 7 \;\triangleleft\; \ldots$

$\;\triangleleft\; 2^{n+1}\times 3 \;\triangleleft\; 2^{n+1}\times 5 \;\triangleleft\; \ldots \;\triangleleft\; 2^n \;\triangleleft\; 2^{n-1} \;\triangleleft\; \ldots \;\triangleleft\; 2^2 \;\triangleleft\; 2 \;\triangleleft\; 1$

Autrement dit, on place d'abord les impairs à partir de 3 par ordre croissant, puis les impairs multipliés par 2, puis par 4, etc. et on termine par les puissances de 2 par ordre décroissant.

Le théorème de Sarkovskii s'énonce alors comme suit :

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ , à valeurs dans $I$ . Si $f$ admet un point périodique de période $n$ , alors pour tout $m$ succédant à $n$ dans l'ordre de Sarkovskii, $f$ admet un point périodique de période $m$ .

$x$ est un point périodique de période $n$ si $f \circ f \cdots \circ f(x) = x$ où $f$ apparaît $n$ fois, et où $n$ est le plus petit entier vérifiant cette propriété. Ainsi, si $f$ admet un point périodique de période 3, alors $f$ admet des points périodiques de n'importe quelle période.

Voir aussi

Références

A. N. Sharkovsky, Coexistence of cycles of a continuous map of a line into itself, Internat. J. Chaos Appl. Sci. Engrg. 5 (1995) 1263-1273, traduction anglaise de l'article initial paru en russe dans Ukrain. Math. Zh. 16 (1964) 61-71.
T. Li & J. Yorke, Period three implies chaos, Amer. Math. Monthly, 82 (1975) 985-992
B.S. Du, A simple proof of Sharkovsky's theorem, Amer. Math. Monthly 111 (2004) 595-599.
B.S. Du, A simple proof of Sharkovsky's theorem revisited, Amer. Math. Monthly 114 (2007) 152-155.

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