Théorème de Poincaré-Birkhoff-Witt

Théorème de Poincaré-Birkhoff-Witt
Page d'aide sur l'homonymie Ne pas confondre avec le théorème de Poincaré-Birkhoff en théorie des systèmes dynamiques

En mathématiques, et plus particulièrement dans la théorie des algèbres de Lie, le théorème de Poincaré-Birkhoff-Witt est un théorème fondamental qui permet de décrire précisément la structure de l'algèbre enveloppante d'une algèbre de Lie.

Énoncé

Soit \mathfrak{g} une algèbre de Lie, \mathcal{B} une base de \mathfrak{g}. On suppose que \mathcal{B} est totalement ordonnée. On appelle monôme canonique toute suite finie (x_1,\dots,x_n) d'éléments de \mathcal{B} croissante au sens large (c'est-à-dire que pour tout 1\leq i \leq n, x_i \leq x_{i+1}).

La définition de l'algèbre enveloppante U(\mathfrak{g}) de \mathfrak{g} assure l'existence d'une application linéaire

L:\mathfrak{g} \longrightarrow U(\mathfrak{g})

On étend L aux monômes canoniques en posant

L(x_1,\dots,x_n)=L(x_1)L(x_2)\dots L(x_n)

ce qui a un sens puisque U(\mathfrak{g}) est une algèbre associative sur un corps.

Le théorème proprement dit est le suivant:

L'application L définit une injection de \mathfrak{g} dans U(\mathfrak{g}), et l'ensemble des images par L des monômes canoniques est une base de U(\mathfrak{g}).

Autrement dit, soit Y=L(\mathcal{B}). Alors l'ensemble

\{ y_1^{k_1}\dots y_l^{k_l}, y_i \in Y, y_i \leq y_{i+1} \}

est une base de U(\mathfrak{g}).

Conséquence

  • L'application L est injective. Ainsi, en munissant U(\mathfrak{g}) de sa structure naturelle d'algèbre de Lie (en posant [x,y] = xy − yx), \mathfrak{g} peut être vue comme une sous-algèbre de Lie de U(\mathfrak{g}).

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Théorème de Poincaré-Birkhoff-Witt de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужна курсовая?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Théorème de Poincaré-Birkhoff —  Ne pas confondre avec le théorème de Poincaré Birkhoff Witt en théorie des algèbres de Lie Le théorème de Poincaré Birkhoff est un théorème fondamental dans l étude des systèmes dynamiques. Il affirme que si f est un homéomorphisme d un… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de Poincaré — Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. Divers théorèmes portent le nom de Henri Poincaré : Théorème de dualité de Poincaré (en) Théorème de récurrence de Poincaré Th …   Wikipédia en Français

  • Théorème PBW — Théorème de Poincaré Birkhoff Witt En mathématiques, et plus particulièrement dans la théorie des algèbres de Lie, le théorème de Poincaré Birkhoff Witt est un théorème fondamental qui permet de décrire précisément la structure de l algèbre… …   Wikipédia en Français

  • POINCARÉ (H.) — Considéré comme le plus grand mathématicien de son temps, Henri Poincaré est l’un des derniers représentants de cette science à en avoir eu une totale maîtrise dans l’ensemble des domaines, y compris dans ses applications en astronomie et en… …   Encyclopédie Universelle

  • Théorème de Birkhoff — Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. Théorèmes nommés d après George David Birkhoff Théorème ergodique de Birkhoff Théorème de Poincaré Birkhoff, affirmant que toute application d un anneau… …   Wikipédia en Français

  • Henri Poincaré — Pour les articles homonymes, voir Poincaré. Henri Poincaré Henri Poincaré Naissance 29 avril  …   Wikipédia en Français

  • Ernst Witt — Pour les articles homonymes, voir Witt. Ernst Witt à Nice, 1970 Ernst Witt (26 juin 1911 à Als 3 juillet …   Wikipédia en Français

  • Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques — Cette page n est plus mise à jour depuis l arrêt de DumZiBoT. Pour demander sa remise en service, faire une requête sur WP:RBOT Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou… …   Wikipédia en Français

  • Liste de théorèmes — par ordre alphabétique. Pour l établissement de l ordre alphabétique, il a été convenu ce qui suit : Si le nom du théorème comprend des noms de mathématiciens ou de physiciens, on se base sur le premier nom propre cité. Si le nom du théorème …   Wikipédia en Français

  • Algèbre enveloppante — Pour les articles homonymes, voir Algèbre (homonymie). En mathématiques, on peut construire l algèbre enveloppante d une algèbre de Lie . Il s agit une algèbre unitaire qui permet de rendre compte de la plupart des propriétés de …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”