- Théorème PBW
-
Théorème de Poincaré-Birkhoff-Witt
En mathématiques, et plus particulièrement dans la théorie des algèbres de Lie, le théorème de Poincaré-Birkhoff-Witt est un théorème fondamental qui permet de décrire précisément la structure de l'algèbre enveloppante d'une algèbre de Lie.
Énoncé
Soit une algèbre de Lie, une base de . On suppose que est totalement ordonnée. On appelle monôme canonique toute suite finie d'éléments de croissante au sens large (c'est-à-dire que pour tout , ).
La définition de l'algèbre enveloppante de assure l'existence d'une application linéaire
On étend L aux monômes canoniques en posant
ce qui a un sens puisque est une algèbre associative.
Le théorème proprement dit est le suivant:
L'application L définit une injection de dans , et l'ensemble des images par L des monômes canoniques est une base de .
Autrement dit, soit . Alors l'ensemble
est une base de .
Conséquence
- L'application L est injective. Ainsi, en munissant de sa structure naturelle d'algèbre de Lie (en posant [x,y] = xy − yx), peut être vue comme une sous-algèbre de Lie de .
- Portail des mathématiques
Catégorie : Algèbre de Lie
Wikimedia Foundation. 2010.