Théorème de Milman-Pettis

Théorème de Milman-Pettis

Espace uniformément convexe

En mathématiques, un espace uniformément convexe est un cas particulier d'espace de Banach réflexif. Ces espaces comprennent les espaces de Hilbert et les espaces Lp pour 1<p<\infty. Le concept de convexité uniforme a été introduit par James A. Clarkson en 1936.

Sommaire

Définition

Un espace uniformément convexe est un espace de Banach tel que, pour tout ε > 0, il existe un δ > 0 pour lequel, pour tout couple de vecteurs avec \|x\|\le1 et \|y\|\le 1, \|x-y\|>\epsilon. implique \frac 12 \|x+y\|< 1-\delta.[1]

De manière intuitive, cela signifie que les boules sont bien arrondies : les segments suffisamment longs inclus dans une boule ont leur milieu relativement loin du bord de la boule.

Il convient de noter que cette propriété ne peut pas être conservée si on passe à une norme équivalente. Ainsi dans le cas du plan {\mathbb R}^2, la norme || ||2 est uniformément convexe, alors que la norme || ||1 ne l'est pas.

Propriétés

Le Théorème de Milman–Pettis énonce que tout espace uniformément convexe est réflexif.

Ce théorème a été prouvé indépendamment par D. Milman en 1938 et B. J. Pettis en 1939. S. Kakutani en donna une preuve différente en 1939, et J. R. Ringrose a publié ce qui est sûrement la preuve la plus courte en 1959.

Notes et références

Notes

  1. Cette définition provient de Haïm Brezis, Analyse fonctionnelle : théorie et applications [détail des éditions] p 51

Références

  • (en) J. A. Clarkson, Uniformly convex spaces, Trans. Amer. Math. Soc. 40 (1936), 396–414.
  • (en) O. Hanner, On the uniform convexity of Lp and lp, Ark. Mat. 3 (1956), 239–244.
  • (en) S. Kakutani, Weak topologies and regularity of Banach spaces, Proc. Imp. Acad. Tokyo 15 (1939), 169–173.
  • (en) D. Milman, On some criteria for the regularity of spaces of type (B), C. R. (Doklady) Acad. Sci. U.R.S.S, 20 (1938), 243–246.
  • (en) B. J. Pettis, A proof that every uniformly convex space is reflexive, Duke Math. J. 5 (1939), 249–253.
  • (en) J. R. Ringrose, A note on uniformly convex spaces, J. London Math. Soc. 34 (1959), 92.
  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « Espace uniform%C3%A9ment convexe ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Théorème de Milman-Pettis de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужно сделать НИР?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Theoreme de Milman-Pettis — Espace uniformément convexe En mathématiques, un espace uniformément convexe est un cas particulier d espace de Banach réflexif. Ces espaces comprennent les espaces de Hilbert et les espaces Lp pour Le concept de convexité uniforme a été… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de Milman–Pettis — Espace uniformément convexe En mathématiques, un espace uniformément convexe est un cas particulier d espace de Banach réflexif. Ces espaces comprennent les espaces de Hilbert et les espaces Lp pour Le concept de convexité uniforme a été… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de milman-pettis — Espace uniformément convexe En mathématiques, un espace uniformément convexe est un cas particulier d espace de Banach réflexif. Ces espaces comprennent les espaces de Hilbert et les espaces Lp pour Le concept de convexité uniforme a été… …   Wikipédia en Français

  • Espace Uniformément Convexe — En mathématiques, un espace uniformément convexe est un cas particulier d espace de Banach réflexif. Ces espaces comprennent les espaces de Hilbert et les espaces Lp pour Le concept de convexité uniforme a été introduit par James A. Clarkson en… …   Wikipédia en Français

  • Espace uniformement convexe — Espace uniformément convexe En mathématiques, un espace uniformément convexe est un cas particulier d espace de Banach réflexif. Ces espaces comprennent les espaces de Hilbert et les espaces Lp pour Le concept de convexité uniforme a été… …   Wikipédia en Français

  • Espace uniformément convexe — En mathématiques, un espace uniformément convexe est un cas particulier d espace de Banach réflexif. Ces espaces comprennent les espaces de Hilbert et les espaces Lp pour . Sommaire 1 Définition 2 Propriétés …   Wikipédia en Français

  • Liste de théorèmes — par ordre alphabétique. Pour l établissement de l ordre alphabétique, il a été convenu ce qui suit : Si le nom du théorème comprend des noms de mathématiciens ou de physiciens, on se base sur le premier nom propre cité. Si le nom du théorème …   Wikipédia en Français

  • Espace Préhilbertien — En mathématiques, un espace préhilbertien est défini comme un espace vectoriel réel ou complexe muni d un produit scalaire. Cette notion généralise celles d espace euclidien ou hermitien, en omettant l hypothèse de la dimension finie. Le cas… …   Wikipédia en Français

  • Espace prehilbertien — Espace préhilbertien En mathématiques, un espace préhilbertien est défini comme un espace vectoriel réel ou complexe muni d un produit scalaire. Cette notion généralise celles d espace euclidien ou hermitien, en omettant l hypothèse de la… …   Wikipédia en Français

  • Espace préhilbertien — En mathématiques, un espace préhilbertien est défini comme un espace vectoriel réel ou complexe muni d un produit scalaire. Cette notion généralise celles d espace euclidien ou hermitien, en omettant l hypothèse de la dimension finie. Sommaire 1… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”