Théorème de Hopf-Rinow
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et les espaces hyperboliques sont géodésiquement complets.
avec la métrique euclidienne induite n'est pas géodésiquement complet. Si on choisit en effet un point 
, il n'existe pas dans M de plus court chemin qui le relie au point symétrique q = ( − x1, − x2). L'espace métrique M n'est d'ailleurs pas complet : il suffit de considérer une suite de points qui admet comme limite dans 
le point {0}.
