Théorème d'iwaniec et richert

Théorème d'Iwaniec et Richert

Le théorème d'Iwaniec et Richert peut s'énoncer ainsi :

Il existe une infinité d'entiers n tel que :

$n^2 + 1 ~$

soit un 2-nombre presque premier (c’est-à-dire un nombre semi-premier) .

Ce résultat a été obtenu par Iwaniec en 1978. Il fait suite à un article de Levin de 1960, dans lequel ce dernier montre que la suite $(n 2 + 1) n = 1,..., N$ contient au moins

$\frac {aN}{\ln N} + O \left ( \frac {N \ln \ln N}{(\ln N)^{3/2}} \right )$

éléments ayant au plus cinq facteurs premiers, où $a > 0$ .

En 1974, Halberstam et Richert, dans leur ouvrage Sieve methods, ont obtenu le résultat effectif suivant. Soit $a$ un entier qui ne soit pas l'opposé d'un carré parfait, et soient $1 < y \leq x$ des nombres réels. Alors, le nombre d'entiers $n$ vérifiant $x-y <n \leq x^2$ et tels que $n 2 + a$ soit un nombre premier est majoré par :

$2 \prod_{p > 2, \, p \mid a} \left ( 1 - \frac {(-a/p)}{p-1} \right ) \frac {y}{\ln y} \times \left \{ 1 + O_{a} \left ( \frac {\ln \ln 3y}{\ln y} \right ) \right \},$

où $( - a / p)$ désigne le symbole de Legendre-Jacobi-Kronecker.

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Catégories : Théorie des nombres | Théorème de mathématiques

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