- Théorie de Schrodinger de l'atome d'hydrogène
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Théorie de Schrödinger de l'atome d'hydrogène
Pour consulter un article plus général, voir : atome.Cet article est un complément pour l'article sur l'atome d'hydrogène et la Théorie de Pauli de l'atome d'hydrogène.
On considère que les harmoniques sphériques, l'équation 1D de Leibniz-Schrodinger ainsi que l'équation radiale-réduite sont des préacquis.
Pour cet article initial sur l'atome d'hydrogène, on va vérifier directement sur l'équation radiale-réduite en :
et que les valeurs données par les tables mathématiques pour les couches K , L et M, sont exactes:
( Cet article à recours aux équations pour éviter une approche purement descriptive ! ).
Sommaire
Couche K
Pour la couche K, on l'a déjà vu l'orbitale 1s :
,
avec N = 2 pour les couches K , L et M, sont exactes, vérifions-le :
- R(r) est bien orthonormé sur l'intervalle r > 0 ;
- l'équation radiale-réduite est automatiquement satisfaite puisque P = constante et k = 0.
Couche L
Pour la Couche L il y a 1 orbitale 2s , et 3 orbitales 2p :
Orbitales 2p (de Rydberg) :
.
La normalisation conduit à ,
mais il faudra encore multiplier par , avec m = − 1,0,1.
Et avec (n = 2, l = 1 donc k = 0), l'équation radiale-réduite est satisfaite, on l'a déjà vu.
Orbitale 2s : il y a 1 nœud, k = 1:
avec .
L'équation radiale-réduite est
,
avec : soit (2 − s)( − 1 / 2) + (n − 1)(1 − s / 2) = 0, ou encore .
Couche M
Couche M : 1 orbitale 3s , 3 orbitales 3p et 5 orbitales 3d :
Orbitales 3d (de Rydberg) donc
avec .
Il faudra multiplier par avec m = − 2, − 1,0,1,2.
L'énergie est (déjà vu f(s) = cste).
Orbitales 3p , avec 1 nœud :
avec .
Il faudra multiplier par avec m = − 1,0,1.
Montrer que vérifie rg'' + (6 − r)g' + g = 0 est assez facile.
Finalement, l'énergie vaut bien .
Orbitale sphérique 3s, avec 2 nœuds :
,
et cette fois, il faut vérifier que
f(3,0,s) = (s − a')(s − b') = s2 − Ss + P
satisfait à
sf'' + (2 − s)f' + 2f = 0,
ce qui est assez aisé : f est le Polynôme s2 − 6s + 6, soit avec ,
: la probabilité de trouver l'électron voisin de r = a ou r = b, soit est nulle.
Finalement, l'énergie vaut .
Conclusion
L'énergie la plus basse (n=1, E = E1) correspond à 1seule orbitale 1s. Puis la couche L( n=2 E = E2 = E1/2²)correspond à 1+3 orbitales, une 2s et trois 2p. La couche M ( n=3, E = E3 = E1/3²) correspond à 1+3+5 orbitales, une 3s (avec deux nœuds en 1.9 et 7.1), trois 3p (avec un nœud en r=6) et enfin cinq 3d (sans nœud).
Articles connexes
Liens externes
- Christian Magnan, Texte sur la théorie de Schrödinger
- Portail de la physique
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