Théorie de Schrödinger de l'atome d'hydrogène

Théorie de Schrödinger de l'atome d'hydrogène
Pour consulter un article plus général, voir : atome.

Cet article est un complément pour l'article sur l'atome d'hydrogène et la Théorie de Pauli de l'atome d'hydrogène.

On considère que les harmoniques sphériques, l'équation 1D de Leibniz-Schrodinger ainsi que l'équation radiale-réduite sont des préacquis.

Pour cet article initial sur l'atome d'hydrogène, on va vérifier directement sur l'équation radiale-réduite en :

f\left(n,l,\frac{2r}{n}\right)= f(n, l, s)

et que les valeurs données par les tables mathématiques pour les couches K , L et M, sont exactes:

R(n, l, r) = \frac{S(n, l, r)}{r} = r^l . e^{\frac{-r}{n}} . P(n, l, r)

( Cet article à recours aux équations pour éviter une approche purement descriptive ! ).

Sommaire

Couche K

Pour la couche K, on l'a déjà vu l'orbitale 1s :

\psi\ (r) = R(r) = e^{-r} . N ,

avec N = 2 pour les couches K , L et M, sont exactes, vérifions-le :

  • R(r) est bien orthonormé sur l'intervalle r > 0 ;
  • l'équation radiale-réduite est automatiquement satisfaite puisque P = constante et k = 0.

Couche L

Pour la Couche L il y a 1 orbitale 2s , et 3 orbitales 2p :

Orbitales 2p (de Rydberg) :

R(r) = N\cdot r\cdot e^{-\frac{r}{2}}.

La normalisation conduit à N = \frac{1}{2\sqrt{6}},

mais il faudra encore multiplier par \frac{Y_{1,m}}{r}, avec m = − 1,0,1.

Et avec E=-\frac{1}{4} (n = 2, l = 1 donc k = 0), l'équation radiale-réduite est satisfaite, on l'a déjà vu.

Orbitale 2s : il y a 1 nœud, k = 1:

R(r)=N\cdot\left(1-\frac{r}{2}\right)\cdot e^{-\frac{r}{2}} avec N = \frac{1}{\sqrt{2}}.

L'équation radiale-réduite est

s\cdot f'' + (2-s)\cdot f' + (n-1)\cdot f = 0,

avec f(s)= \left(1-\frac{s}{2}\right) : soit (2 − s)( − 1 / 2) + (n − 1)(1 − s / 2) = 0, ou encore E=-\frac{1}{4}.

Couche M

Couche M : 1 orbitale 3s , 3 orbitales 3p et 5 orbitales 3d :

Orbitales 3d (de Rydberg) donc

R(r) = N\cdot r^2\cdot e^{-\frac{r}{3}} avec N = \frac{4}{81\sqrt{30}}.

Il faudra multiplier par \frac{Y_{2,m}}{r} avec m = − 2, − 1,0,1,2.

L'énergie est E(3d) = -\frac{1}{9} (déjà vu f(s) = cste).

Orbitales 3p , avec 1 nœud :

R(r) = N\cdot r\cdot\left(1-\frac{r}{6}\right)\cdot e^{-\frac{r}{3}} avec N = \frac{8}{27\sqrt{6}}.

Il faudra multiplier par \frac{Y_{1,m}}{r} avec m = − 1,0,1.

Montrer que g(r)=1-\frac{r}{6} vérifie rg'' + (6 − r)g' + g = 0 est assez facile.

Finalement, l'énergie vaut bien E(3p)=-\frac{1}{9}.

Orbitale sphérique 3s, avec 2 nœuds :

R(r) = N\cdot (r-a)(r-b)\cdot e^{-\frac{r}{3}},

et cette fois, il faut vérifier que

f(3,0,s) = (s − a')(s − b') = s2 − Ss + P

satisfait à

sf'' + (2 − s)f' + 2f = 0,

ce qui est assez aisé : f est le Polynôme s2 − 6s + 6, soit avec s=\frac{2r}{n},

R(r)=N\cdot\left(r^2-9r+\frac{27}{2}\right)\cdot e^{-\frac{r}{3}} : la probabilité de trouver l'électron voisin de r = a ou r = b, soit \frac{3}{2}(3\pm\sqrt{3}) = \left|\begin{array}{l}7.098\\1.912\end{array}\right. est nulle.

Finalement, l'énergie vaut E(3d)= -\frac{1}{9}.

Conclusion

L'énergie la plus basse (n=1, E = E1) correspond à 1seule orbitale 1s. Puis la couche L( n=2 E = E2 = E1/2²)correspond à 1+3 orbitales, une 2s et trois 2p. La couche M ( n=3, E = E3 = E1/3²) correspond à 1+3+5 orbitales, une 3s (avec deux nœuds en 1.9 et 7.1), trois 3p (avec un nœud en r=6) et enfin cinq 3d (sans nœud).

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