Theoreme de Stewart

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Théorème de Stewart

Théorème de Stewart

En géométrie euclidienne, le théorème de Stewart est une généralisation du théorème de la médiane due au mathématicien Matthew Stewart dans les années 1746.

Enoncé

Théorème — Soit p une cévienne d'un triangle ABC divisant en X le côté a en deux parties x et y. On a alors la relation suivante :

a\cdot (xy+p^{2}) = x\cdot b^{2}+y\cdot c^{2}

Démonstration

D'après le théorème d'Al-Kashi nous avons :

\cos(\widehat{BXA})=\frac{x^{2}+p^{2}-c^{2}}{2xp}
\cos(\widehat{CXA)}=\frac{y^{2}+p^{2}-b^{2}}{2yp}

Puisque \widehat{BXA} et \widehat{CXA} sont supplémentaires, alors la somme de leur cosinus est nulle, d'où après somme nous obtenons :

\cos(\widehat{BXA})+ \cos(\widehat{CXA)}=\frac{x^{2}+p^{2}-c^{2}}{2xp}+\frac{y^{2}+p^{2}-b^{2}}{2yp}

\Leftrightarrow0=2yp\cdot(x^{2}+p^{2}-c^{2})+2xp\cdot(y^{2}+p^{2}-b^{2})

\Leftrightarrow2ypx^{2}+2yp^{3}+2xpy^{2}+2xp^{3}=2ypc^{2}+2xpb^{2}

\Leftrightarrow x^{2}y+yp^{2}+xy^{2}+xp^{2}=yc^{2}+xb^{2}

\Leftrightarrow a\cdot(xy+p^{2})=yc^{2}+xb^{2}

Voir aussi

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