Série arithmétique

Série arithmétique

Suite arithmétique

En mathématique, une suite arithmétique est une suite définie sur \{n \in \mathbb N, n \geq n_0\} à valeurs dans un groupe additif E telle qu'il existe un élément \ r de \ E appelé raison pour lequel :

\forall n \geq n_0 \ \ \ u_{n+1} = u_n + r \,


En pratique E = \R ou \mathbb C. Mais on peut tout aussi bien rencontrer des suites arithmétiques à valeurs dans un espace vectoriel.

On dit alors que les termes \ u_n sont en « progression arithmétique ».


Exemple Si la raison \ r=2 et \ u_0=10 :

  • \ u_0=10
  • \ u_1=12
  • \ u_2=14
  • \vdots

Terme général

Si E est un groupe et si (u_n )_{n\in\mathbb N} est une suite arithmétique de E de raison r\in E alors, pour tout n\in\mathbb N :

u_n = u_0 + n.r \,

Plus généralement, si la suite est définie sur \{n \in \mathbb N, n \geq n_0\} et si n et p appartiennent à A alors :

u_n = u_p + (n - p).r \,

Une suite arithmétique est donc entièrement déterminée par la donnée de son premier terme u_{n_0} et par sa raison r.

Réciproquement, une suite définie sur \{n \in \mathbb N, n \geq n_0\} par

u_n = u_{n_0} + (n - n_0).r \,

est une suite arithmétique de raison r.

En analyse réelle ou complexe, la suite arithmétique est l'aspect discret de la fonction affine.

Sens de variation et convergence

Ce paragraphe concerne les suites arithmétiques à valeurs dans \R.

Si r > 0 la suite est croissante, si r < 0 la suite est décroissante et si r = 0 la suite est constante.

En général (si r est non nul), la suite arithmétique est divergente. Cependant elle admet une limite:

  • si r > 0 sa limite est + \infty
  • si r < 0 sa limite est - \infty.
  • Si la raison est nulle, la suite est constante et converge vers la constante.

Somme des termes

Si E = \R ou \mathbb C et si (u_n )_{n\in\mathbb N} est une suite arithmétique de E alors, pour tout n\in\mathbb N :

\sum_{0 \le p \le n}u_p={(n+1)\over 2}(u_0+u_n)

La légende veut que la méthode de calcul fut inventée par Carl Friedrich Gauss, élève dissipé qu'il s'agissait d'occuper et à qui l'on aurait confié la tâche de calculer la somme de tous les entiers de 1 à 100. En écrivant la somme deux fois, dans un ordre différent, il obtint :

S = 1 + 2 + 3 + .... + 98 + 99 + 100
S = 100 + 99 + 98 + ...+ 3 + 2 + 1

Puis, remarquant que 100 + 1 = 99 + 2 = 98 + 3 = ... = 101, il obtint facilement

2S = 100 × 101 donc S = 50 × 101.

Légende ou réalité, cette astuce est la méthode de démonstration pour calculer les somme des termes:

S = u0 + u1 + ... + un
S = un + un − 1 + ... + u0

Remarquant que up + un − p = u0 + un, il vient

2S = (n+1) \times (u_0+u_n)

Cette propriété s'applique pour calculer la somme des n premiers entiers

1 + 2 + 3 ... + n = \frac{n(n+1)}{2}

et se généralise à toute somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique

u_p + u_{p+1} + ...+u_n = \frac{(n-p+1)(u_n + u_p)}{2}

Elle se généralise aussi à toute suite à valeurs dans un espace vectoriel sur un corps de caractéristique différente de 2

  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « Suite arithm%C3%A9tique ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Série arithmétique de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Serie de Dirichlet — Série de Dirichlet Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet analyse les séries qui portent son nom en 1837 pour démontrer le théorème de la progression arithmétique. En mathématiques, une série de Dirichlet est une série f(s) de fonctions, définie… …   Wikipédia en Français

  • Série de dirichlet — Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet analyse les séries qui portent son nom en 1837 pour démontrer le théorème de la progression arithmétique. En mathématiques, une série de Dirichlet est une série f(s) de fonctions, définie sur l ensemble des… …   Wikipédia en Français

  • Arithmetique elementaire — Arithmétique élémentaire L’arithmétique élémentaire regroupe les rudiments de la connaissance des nombres telle qu elle est présentée dans l enseignement des mathématiques. Elle commence avec la comptine numérique, autrement dit la suite des… …   Wikipédia en Français

  • Arithmétique (mathématiques élémentaires) — Arithmétique élémentaire L’arithmétique élémentaire regroupe les rudiments de la connaissance des nombres telle qu elle est présentée dans l enseignement des mathématiques. Elle commence avec la comptine numérique, autrement dit la suite des… …   Wikipédia en Français

  • Arithmétique Élémentaire — L’arithmétique élémentaire regroupe les rudiments de la connaissance des nombres telle qu elle est présentée dans l enseignement des mathématiques. Elle commence avec la comptine numérique, autrement dit la suite des premiers entiers à partir de… …   Wikipédia en Français

  • série — [ seri ] n. f. • 1715; lat. series, spécialisé dès le XVIIe en math. 1 ♦ Math. Somme d un nombre fini de termes. Série harmonique : somme des inverses des entiers. Série convergente, telle que la somme de ses n premiers termes tend vers une… …   Encyclopédie Universelle

  • Serie de Fourier — Série de Fourier Le premier graphe donne l allure du graphe d une fonction périodique ; l histogramme donne les valeurs des modules des coefficients de Fourier correspondant aux différentes fréquences. En analyse, les séries de Fourier sont… …   Wikipédia en Français

  • Série de fourier — Le premier graphe donne l allure du graphe d une fonction périodique ; l histogramme donne les valeurs des modules des coefficients de Fourier correspondant aux différentes fréquences. En analyse, les séries de Fourier sont un outil… …   Wikipédia en Français

  • Serie L de Dirichlet — Série L de Dirichlet Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet En mathématiques, une série L de Dirichlet, est une série du plan complexe utilisée en théorie analytique des nombres. Par prolongement analytique, cette fonction peut être étendue à une… …   Wikipédia en Français

  • Série l de dirichlet — Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet En mathématiques, une série L de Dirichlet, est une série du plan complexe utilisée en théorie analytique des nombres. Par prolongement analytique, cette fonction peut être étendue à une fonction méromorphe… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”