Science et Méthode

Science et Méthode

Science et Méthode est un livre d'Henri Poincaré dans lequel l'auteur réfléchit au rôle de la science et développe ses conceptions de la physique et des mathématiques. Cet ouvrage reprend et développe certains thèmes déjà présents dans la Science et l'Hypothèse, et dans la Valeur de la Science.

Sommaire

Le savant et la science

Poincaré définit quel doit être le rôle du savant, et quel sens il faut donner à l'utilité de la science. Il récuse l'utilité immédiate de l'industriel qui ne voit dans la science qu'une application pratique. Il récuse également une science qui ne serait guidée que par des considérations morales. Le savant doit également agir pour la science elle-même, guidé par son propre intérêt, et par les questions qu'il se pose[1]. Le choix des faits qu'il étudie ne doit pas cependant être dicté par un simple caprice[2]. Il doit sélectionner ceux qui lui permettront de dégager les lois les plus générales possibles. C'est en ce sens seulement que la science sera utile. L'étude portera d'abord sur des faits simples permettant de dégager une règle adaptée à ces faits. Après cela, son attention se portera sur les exceptions à la règle. Ces exceptions jugées marginales en premier lieu, prennent alors toute leur importance. De nouvelles questions se posent, appelant de nouvelles réponses. Les considérations précédentes doivent s'appliquer également aux mathématiques, qui, au-delà du rôle qu'elles peuvent apporter au physicien ou à l'ingénieur, doivent également réfléchir sur elles-mêmes sous peine de se stériliser.

En mathématiques, la fin du XIXe siècle est caractérisée par une recherche de la rigueur conduisant au formalisme axiomatique. Tout en reconnaissant cette démarche, Poincaré la juge néanmoins d'un intérêt limité et il considère le travail des logiciens comme secondaire. Il estime plus importantes les découvertes mathématiques, guidées par l'intuition, et adopte une position qu'on peut considérer proche du constructivisme. En géométrie, il a conscience du développement que va prendre la topologie, dénommée alors sous le nom d'Analysis situs et dont Riemann est un précurseur.

Il décrit le processus de l'invention en mathématiques. Un long et ardu travail peut sembler se révéler stérile, mais être suivi par une découverte survenant fortuitement au cours d'une illumination soudaine. C'est à cette occasion que Poincaré cite l'épisode célèbre relatif aux fonctions fuchsiennes[3]. Selon Poincaré, il y a un travail inconscient, formant à notre insu, des combinaisons diverses et parmi elles, émergent à notre conscience celles qui affecteront le plus notre sensibilité par leur beauté et leur harmonie.

Poincaré s'intéresse également au hasard, et poursuit les réflexions qu'il a déjà menées sur la question dans La Science et l'Hypothèse. A cette occasion, il évoque les phénomènes de sensibilité aux conditions initiales, connus dans la deuxième moitié du XXème sous le nom d'effet papillon[4], sujet sur lequel il a travaillé dans le domaine astronomique.

Le raisonnement mathématique

Le développement de la topologie, évoqué plus haut, n'est pas étranger à l'abandon définif de la notion d'espace absolu[5],[6]. Poincaré fait remarquer que le seul système de référence concret est celui, relatif, lié à notre corps. Il ne conçoit que des mouvements relatifs, ces derniers étant pris en sens très large, non nécessairement limités à un espace euclidien. Ainsi remarque-t-il que, si l'espace se déformait, il en serait de même de nos instruments de mesure et que nous n'aurions pas conscience de cette déformation[7]. Ainsi deux espaces sont-ils équivalents non seulement par transformation isométrique, mais également par transformation homéomorphe. Cette question mathématique est à rapprocher des questions physiques liées aux déformations de l'espace dans le sens du déplacement proposées par Lorentz pour expliquer la constance de la mesure de la vitesse de la lumière dans le vide.

Poincaré développe ensuite le rôle des définitions dans l'enseignement, dans un chapitre qui n'a rien perdu de son actualité. Il distingue soigneusement la définition mathématique idéale de celle qu'il convient de donner aux élèves ou aux étudiants. Il explique en quoi il peut être préférable de donner d'abord une définition approximative qui répondra à l'intuition immédiate des élèves, plutôt que de leur donner une définition abstraite dont le rôle, les tenants et aboutissants leur échapperont, quitte à affiner petit à petit cette définition[8]. Il rétorque aux partisans de la rigueur que la définition abstraite elle-même ne peut avoir de sens que si on garde en esprit le cheminement intuitif qui a conduit à sa formation. Les mêmes remarques s'appliquent également à l'enseignement de la physique qui doit rechercher un lien constant entre le monde réel et la présentation des théories physiques les plus abstraites[9].

Il s'insurge contre ce qu'il considère être des excès de la logique[10]. Il réfute qu'on puisse définir les ordinaux transfinis avant d'en distinguer la classe des ordinaux finis. Ses flèches les plus féroces sont adressées à Peano, qui a formalisé les axiomes relatifs aux entiers[11], mais s'adressent également à Russel ou à Hilbert. En effet, pour Poincaré, les logiciens ne peuvent procéder que par cercle vicieux dans leur tentative de définir les entiers, l'usage de ceux-ci étant implicite dans leurs raisonnements[12], ainsi que celui du principe de récurrence. Pour Poincaré, ce dernier principe ne peut donc ni être démontré, ni relever d'une définition des entiers. Il est plutôt un jugement synthétique a priori au sens que lui donne Kant, et est le principe même qui permet à l'intelligence humaine de procéder à des généralisations. On peut rapprocher sa position de celle de Kronecker[13]. Poincaré rejette la notion d'infini actuel, l'infini ne pouvant être à ses yeux que potentiel. Il convient de souligner que Poincaré écrit à une époque où la théorie des ensembles est encore source de contradiction, la mise au point par Zermelo, Fraenkel et Skolem n'ayant pas encore eu lieu. Poincaré pense également qu'il est possible de prouver la non-contradiction d'une théorie précisément en utilisant le principe de récurrence sur le nombre de formules validées, ce que se révèlera faux après les travaux de Gödel.

La mécanique nouvelle

Les années 1900 sont en physique des années de profondes remises en cause. Poincaré dresse une liste des divers sujets posant problème : étude de la radioactivité, question de la validité de la conservation de l'énergie qui en découle, identification de la nature des rayonnements radioactifs, difficulté de mesurer la masse des particules émises lors de la désintégration radioactive, dépendance éventuelle de la masse avec la vitesse, comparaison entre la masse inertielle et la masse gravitationnelle, étude du résultat négatif de l'expérience de Michelson et Morley, considérations sur les rayons cathodiques ou les rayons X, difficulté de synchroniser deux horloges, réflexions sur la notion de contraction des longueurs proposée par Lorentz dans le sens du mouvement pour concilier mécanique et électromagnétisme, validité ou non du principe d'action et de réaction et du principe de relativité, limitation de la vitesse d'un corps par celle de la lumière, question du mouvement du périhélie de Mercure, nature de la force de gravitation. Le texte de Poincaré est un témoignage intéressant de l'état de la physique et des questions que se posaient les physiciens de l'époque.

La science astronomique

Dans la dernière partie de l'ouvrage, Poincaré, reprenant une idée de Kelvin étudie dans quelle mesure la théorie cinétique des gaz pourrait être appliquée à l'étude de la Voie lactée, les astres étant assimilés à des points matériels, sur sa taille, sur son âge et sur la compatibilité de cet âge avec celui estimé des étoiles[14]. Il s'interroge également sur la stabilité des galaxies spirales.

L'ouvrage se termine par un plaidoyer en faveur de la géodésie française et de son intérêt pour la connaissance de la Terre et le prestige de la France.

Autres citations

  • La mathématique est l'art de donner le même nom à des choses différentes. (p.29)
  • M. B. Russel arrive à cette conclusion qu'une proposition fausse quelconque implique toutes les autres propositions vraies et fausses. M. Couturat dit que cette conclusion semblera paradoxale au premier abord. Il suffit cependant d'avoir corrigé une mauvaise thèse de mathématiques, pour reconnaître combien M. Russell a vu juste. Le candidat se donne souvent beaucoup de mal pour trouver la première équation fausse ; mais dès qu'il l'a obtenue, ce n'est plus qu'un jeu pour lui d'accumuler les résultats les plus surprenants, dont quelques-uns même peuvent être exacts. (p.174)

Notes et références

  1. ↑ Cette position peut être rapprochée de celle de Jacobi qui écrivait à Legendre en 1830 : « M. Poisson n'aurait pas dû reproduire dans son rapport une phrase peu adroite de feu M. Fourier, où ce dernier nous fait reproche, à Abel et à moi, de ne pas nous être occupés de préférence du mouvement de la chaleur. Il est vrai que M. Fourier avait l'opinion que le but principal des mathématiques était l'utilité publique et l'explication des phénomènes naturels ; mais un philosophe comme lui aurait dû savoir que le but unique de la science, c'est l'honneur de l'esprit humain, et que, sous ce titre, une question de nombres vaut autant qu'une question du système du monde. »
  2. ↑ Henri Poincaré, Science et Méthode, p.9 : « Il suffit d'ouvrir les yeux pour voir que les conquêtes de l'industrie qui ont enrichi tant d'hommes pratiques n'auraient jamais vu le jour si ces hommes pratiques avaient seuls existé, et s'ils n'avaient été devancés par des fous désintéressés qui sont morts pauvres, qui ne pensaient jamais à l'utile, et qui pourtant avaient un autre guide que leur caprice.  »
  3. ↑ Henri Poincaré, Science et Méthode (p.51) : « A ce moment, je quittai Caen, où j'habitais alors, pour prendre part à une course géologique entreprise par l'Ecole des Mines. Les péripéties du voyage me firent vite oublier mes travaux mathématiques ; arrivés à Coutances, nous montâmes dans un omnibus pour je ne sais quelle promenade ; au moment où je mettais le pied sur le marchepied, l'idée me vint, sans que rien dans mes pensées mathématiques parût m'y avoir préparé, que les transformations dont j'avais fait usage pour définir les fonctions fuchsiennes étaient identiques à celles de la géométrie non euclidienne. »
  4. ↑ Henri Poincaré, Science et Méthode, p.68 : « Lors même que les lois naturelles n'auraient plus de secrets pour nous, nous ne pourrons connaître la situation initiale qu'appoximativement. Si cela nous permet de prévoir la situation ultérieure cela avec la même approximation, c'est tout ce qu'il nous faut, nous disons que le phénomène a été prévu, qu'il est régi par des lois ; mais il n'en est pas toujours ainsi, il peut arriver que de petites différences dans les conditions initiales en engendrent de très grandes dans les phénomènes finaux ; une petite erreur sur les premières produiront une erreur énorme sur les derniers. La prédiction devient impossible et nous avons le phénomène fortuit. [...] Pourquoi les météorologistes ont-ils tant de peine à prédire le temps avec quelques certitudes ? Pourquoi les chutes de pluie, les tempêtes elles-mêmes nous semblent-elles arriver au hasard, de sorte que bien des gens trouvent tout naturel de prier pour avoir la pluie ou le beau temps, alors qu'ils jugeraient ridicules de demander une éclipse par une prière ? Nous voyons que les grandes perturbations se produisent généralement dans les régions où l'atmosphère est en équilibre instable, qu'un cyclone va naître quelque part ; mais où, ils sont hors d'état de le dire ; un dixième de degré en plus ou en moins en un point quelconque, le cyclone éclate ici et non pas là, et il étend ses ravages sur les contrées qu'il aurait épargnées? »
  5. ↑ Henri Poincaré, Science et Méthode, p.96 : « Quiconque parle de l'espace absolu emploie un mot vide de sens. C'est là une vérité qui a été proclamée depuis longtemps par tous ceux qui ont réfléchi à la question, mais qu'on est trop souvent porté à oublier. »
  6. ↑ Cet abandon de l'espace absolu se généralise à la fin du XIXème. Ainsi, Ernst Mach écrit-il dans La mécanique, Hermann (1904), p.498-499 : « Mais Newton a pourtant rapporté toute la mécanique à l'espace absolu ! En vérité, voilà une personnalité puissante ! L'obligation n'en reste pas moins de la soumettre à la critique. On n'aperçoit guère de différence à rapporter les lois du mouvement à l'espace absolu, ou à les exprimer abstraitement sans les rapporter expressément à un système de repères. Le dernier procédé est naturel et tout aussi pratique, car le mécanicien qui traite un problème déterminé quelconque considère toujours un système de repère utilisable. C'est parce que le premier procédé, chaque fois qu'il pourrait avoir une influence sérieuse, est toujours pris dans le sens du second, que l'erreur de Newton a causé si peu de dommage et s'est maintenue si longtemps. [...] Il serait préférable de corriger les erreurs et les inexactitudes de nos ancêtres scientifiques, qu'ils soient de petites ou de grandes personnalités, que d'en faire des problèmes métaphysiques. »
  7. ↑ Ce propos est manifestement faux. Poincaré qui, dit-on, avait fait là-dessus une conférence publique et racontait que l'on ne pourrait se rendre compte de la soudaine multiplication par 10 de toutes les dimensions des objets, fut contredit immédiatement par un de ses auditeurs qui lui répondit que cela n'aurait sûrement pas échappé aux charcutiers[réf. nécessaire] !
  8. ↑ Henri Poincaré, Science et Méthode, p.135 : « Nos pères croyaient savoir ce que c'est qu'une fraction, ou que la continuité, ou que l'aire d'une surface courbe ; c'est nous qui nous sommes aperçu qu'ils ne le savaient pas. De même nos élèves croient le savoir quand ils commencent à étudier sérieusement les mathématiques. Si, sans autre préparation, je viens leur dire : "Non, vous ne le savez pas ; ce que vous croyez comprendre, vous ne le comprenez pas ; il faut que je vous démontre ce qui vous semble évident", et si dans la démonstration je m'appuie sur des prémisses qui leur semblent moins évidentes que la conclusion, que penseront ces malheureux ? Ils penseront que la science mathématique n'est qu'un entassement arbitraire de subtilités inutiles ; ou bien ils s'en dégoûteront ; ou bien ils s'en amuseront comme d'un jeu et ils arriveront à un état d'esprit analogue à celui des sophistes grecs. »
  9. ↑ Henri Poincaré, Science et Méthode, p.146 : « Il y a une chose qui me frappe : c'est combien les jeunes gens qui ont reçu l'éducation secondaire sont éloignés d'appliquer au monde réel les lois mécaniques qu'on leur a enseignées. Ce n'est pas seulement qu'ils en sont incapables ; ils n'y pensent même pas. Pour eux le monde de la science et celui de la réalité sont séparés par une cloison étanche. Il n'est pas rare de voir un monsieur bien mis, probablement bachelier, assis dans une voiture en s'imaginant qu'il l'aide à avancer en poussant sur l'avant, et cela au mépris du principe de l'action et de la réaction. »
  10. ↑ Henri Poincaré, Science et Méthode, p.132 : «  Depuis un demi-siècle, on a vu surgir toute une foule de fonctions bizarres qui semblaient s'efforcer de ressembler aussi peu que possible aux honnêtes fonctions qui servent à quelque chose. Plus de continuité, ou bien de la continuité, mais pas de dérivées, etc. Bien plus, au point de vue logique, ce sont ces fonctions étranges qui sont les plus générales, celles qu'on rencontre sans les avoir cherchées n'apparaissent plus que comme un cas particulier. Il ne leur reste plus qu'un petit coin. Autrefois, quand on inventait une fonction nouvelle, c'était en vue de quelque but pratique ; aujourd'hui, on les invente tout exprès pour mettre en défaut les raisonnements de nos pères, et on n'en tirera jamais que cela. »
  11. ↑ Henri Poincaré, Science et méthode, p.193 : « La logistique, daprès M. Couturat, prête à l'invention « des échasses et des ailes » et à la page suivante : « Il y a dix ans que M. Peano a publié la première édition de son Formulaire ». Comment, voilà dix ans que vous avez des ailes, et vous n'avez pas encore volé ! J'ai la plus grande estime pour M. Peano, qui a fait de très jolies choses (par exemple sa courbe qui remplit toute une aire), mais enfin, il n'est allé ni plus loin, ni plus haut, ni plus vite que la plupart des mathématiciens aptères et il aurait pu faire tout aussi bien avec ses jambes. »
  12. ↑ Henri Poincaré, `'Science et méthode, p.193 : « Nous voyons d'abord M. Burali-Forti définir le nombre 1 de la manière suivante : 1 = \iota T' \{K0 \cap (u, h) \varepsilon (u \varepsilon \rm{Un})\}. définition éminemment propre à donner une idée du nombre 1 aux personnes qui n'en auraient jamais entendu parler. J'entends trop mal le Péanien pour oser risquer une critique, mais je crains que cette définition ne contienne une pétition de principe, attendu que j'aperçois 1 en chiffre dans le premier membre et Un en toutes lettres dans le second. [...] Je me hâte d'ajouter que la définition que M. Couturat donne du nombre 1 est plus satisfaisante. Un, dit-il en substance, est le nombre des éléments d'une classe dont deux éléments quelconques sont identiques. Elle est plus satisfaisante, dis-je, en ce sens que pour définir 1, il ne se sert pas du mot un ; en revanche, il se sert du mot deux. Mais j'ai peur que si on demandait à M. Couturat ce que c'est que deux, il ne soit obligé de se servir du mot un. »
  13. ↑ pour qui Dieu a créé les entiers naturels, le reste est le travail de l'Homme.
  14. ↑ largement sous-estimé à l'époque, environ 50 millions d'années.

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