Relations de kramers-kronig

Relations de kramers-kronig

Relations de Kramers-Kronig

En mathématiques et physique, les relations de Kramers-Kronig, nommées en l'honneur de Hendrik Anthony Kramers[1] et Ralph Kronig[2], décrivent la relation qui existe entre la partie réelle et la partie imaginaire de certaines fonctions complexes. La condition pour qu'elles s'appliquent à une fonction f(ω) est que celle-ci doit représenter la transformée de Fourier d'un processus physique linéaire et causal. Si on écrit

f(ω) = f1(ω) + if2(ω),

avec f1 et f2 des fonctions réelles "sympathiques", alors les relations de Kramers-Kronig sont


f_1(\omega) = \frac{2}{\pi} \int_0^{\infty} 
\frac{\Omega f_2(\Omega)}{\Omega^2 - \omega^2}d\Omega
f_2(\omega) = -\frac{2 \omega}{\pi} \int_0^{\infty} 
\frac{f_1(\Omega)}{\Omega^2 - \omega^2}d\Omega
.

Les relations de Kramers-Kronig sont liées à la transformée de Hilbert, et sont le plus souvent appliquées à la permittivité ε(ω) des matériaux. Cependant, dans ce cas,

f(ω) = χ(ω) = ε(ω) / ε0 − 1,

avec χ(ω) la susceptibilité électrique du matériau. La susceptibilité peut être interprétée comme la transformée de Fourier de la réponse temporelle du matériau à une excitation infiniment brève, c'est-à-dire sa réponse impulsionnelle.

Notes et références

  1. H.A. Kramers, La diffusion de la lumiere par les atomes, Atti Cong. Intern. Fisica, (Transactions of Volta Centenary Congress) Como, vol. 2, p. 545-557 (1927) .
  2. R. de L. Kronig, On the theory of the dispersion of X-rays, J. Opt. Soc. Am., vol. 12, p. 547-557 (1926).

Voir aussi

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