Theorie de la reponse lineaire

Theorie de la reponse lineaire: Théorie de la réponse linéaire

En physique statistique hors d'équilibre, la théorie de la réponse linéaire permet de définir les susceptibilités et les coefficients de transport d'un système au voisinage de l'équilibre thermique indépendamment des détails du modèle. La théorie de la réponse linéaire a été développée dans les années 1950 par Greene, H. B. Callen, Ryogo Kubo.

Sommaire

1 Formalisme général

1.1 Le Hamiltonien du système

1.2 Explicitation de la matrice densité

1.3 calcul des observables et des fonctions de réponse

1.4 Première application: résistivité électrique

1.5 Autre application: relaxation magnétique

2 Perturbations non mécaniques

3 Réponse linéaire et relations de réciprocité d'Onsager

4 Relations de Kramers-Kronig

5 Règles de somme

6 Formalisme de Mori-Zwanzig

7 Références

Formalisme général

Le Hamiltonien du système

Dans la théorie de la réponse linéaire, on suppose que le système considéré est décrit par un certain Hamiltonien d'équilibre $H 0$ , perturbé par un Hamiltonien perturbatif dépendant du temps $H 1 (t)$ , qu'on peut expliciter sous la forme:

H₁(t) = ∑ λ_i(t)A_i

i

ou les $λ i (t)$ sont les facteurs perturbatifs et les opérateurs hermitiens $A i$ sont des observables du système, de sorte que le Hamiltonien total du système est:

H = H₀ + H₁(t) = H₀ + ∑ λ_i(t)A_i

l

Il en ressort que le formalisme naturel d'un système en réponse linéaire est la représentation d'interaction.

Explicitation de la matrice densité

La matrice densité est affectée par la perturbation du hamiltonien. Pour la matrice densité, l'équation de Schrödinger s'écrit:

$i\hbar \partial_t\rho(t)= [H(t),\rho(t)]$

Attention! Ceci n'est pas une équation de Heisenberg et la matrice densité $ρ(t)$ n'est pas un opérateur! (Voir le signe du commutateur pour s'en convaincre!) Si nous baptisons $ρ 0$ la matrice densité du système non perturbé(c’est-à-dire du système à l'équilibre thermique), $ρ(t)$ la matrice densité du système perturbé(c’est-à-dire du système hors équilibre), $δρ(t)$ l'écart de la matrice densité du système perturbé calculé au premier ordre de perturbation, l'équation de la matrice densité se réduit à:
$i\hbar \partial_t\delta\rho(t)= [H_1(t),\rho_0]+ [H_0,\delta\rho(t)]$

d'où la solution:
$\delta\rho(t)= {1\over{i\hbar}}\int_{-\infin}^t e^{-i(t-\tau)H_0/\hbar}[H_1(\tau),\rho_0]e^{i(t-\tau)H_0/\hbar} d\tau$

ce qui permet d'acceder à $ρ(t)$

calcul des observables et des fonctions de réponse

En calculant au premier ordre de la théorie des perturbations on obtient la matrice densité $ρ(t)$ du système. Cette matrice peut être utilisée pour extraire les moyennes thermiques et quantiques des observables:

$\langle A_k\rangle (t)=Tr(\rho(t)A_k)$

En dernier ressort, en introduisant la fonction de réponse retardée $χ k l (t)$ les observables du système sont données par:

$\langle A_k\rangle (t)=\int_{-\infty}^{+\infty} \sum_l \chi_{kl}(t-t') \lambda_l(t') dt'$

Où on identifie la fonction de réponse $χ k l (t)$ par:

$\chi_{kl}(t-t')=\frac{i}{\hbar} \theta(t-t') \langle [A_k(t),A_l(t')]\rangle$

où $θ$ est la fonction de Heaviside (qui traduit ici le principe de causalité), $A_k(t)=\exp(i H_0 t/\hbar) A_k \exp(-i H_0 t/\hbar)$ sont les opérateurs dans la représentation de Heisenberg, et la moyenne est prise avec la matrice densité d'équilibre $\rho_0=e^{-\beta H_0}/Tr(e^{-\beta H_0})$ . Le fait que la fonction de réponse ne dépend que de la différence de temps entre l'excitation et la mesure de la réponse est une conséquence de la prise de moyenne sur un état d'équilibre, qui est invariant par translation dans le temps.

La définition de la fonction de réponse est due à Ryogo Kubo (1956).

Comme la fonction de réponse $χ k l (t)$ s'annule pour $t < 0$ (à cause du principe de causalité), on peut définir sa transformée de Laplace imaginaire (nommée encore Fourier unilatérale), qui est égale dans ce cas précis à sa transformée de Fourier simple:
$\chi_{kl}(z)=\int_0^\infty \chi_{kl}(t) e^{i z t} dt=\int_{-\infty}^\infty \chi_{kl}(t) e^{i z t} dt$
qui est donc une fonction holomorphe pour $Im(z) > 0$ d'après les propriétés de la transformation de Laplace.

Première application: résistivité électrique

L'intérêt de la théorie de la réponse linéaire vient de ce qu'aucune hypothèse n'est nécessaire sur le Hamiltonien $H 0$ pour définir la fonction de réponse. Cela permet par exemple de définir la conductivité en considérant:

$H_0 -\vec {J}_0\cdot\vec{A}(t)$

où $\vec{J}$ est le courant électrique, et $\vec{A}$ est le potentiel vecteur. La théorie de la réponse linéaire donne alors une relation:

$\vec{J}_0(\omega)=\chi_{JJ}(\omega) \vec{A}(\omega)$

En tenant compte des équations de Maxwell, cette équation permet de montrer que la conductivité est:

$\sigma(\omega)=\frac{\chi_{JJ}(\omega)}{i\omega} +\frac{n e^2}{m i \omega}$

Le second terme est une contribution diamagnétique qui vient de ce que le courant est $\vec{J}_0-ne^2\vec{A}/m$ en présence d'un potentiel vecteur.

Le calcul de la conductivité est donc réduit au calcul de la fonction de réponse $χ J J$ . Ce calcul peut être effectué soit par des méthodes numériques comme la méthode Monte-Carlo quantique, ou la méthode de Lanczos ou bien par des méthodes analytiques comme la sommation de diagrammes de Feynman.

Autre application: relaxation magnétique

De la même façon, on peut définir avec la théorie de la réponse linéaire d'autres grandeurs physiques comme la constante diélectrique ou la susceptibilité magnétique. La susceptibilité magnétique est en particulier utile dans l'étude de la résonance paramagnétique électronique.

Dans le cadre de la théorie de la réponse linéaire, il est aussi possible d'étudier les processus de relaxation en calculant la réponse à une perturbation de la forme:

$λ(t) = λ 0 exp(ε t)θ( - t)$

et en prenant la limite $\epsilon \to 0$ .

Ainsi, la théorie de la réponse linéaire permet de définir le temps de relaxation $1 / T 1$ résultant du couplage hyperfin entre les spins nucléaires et les spins électroniques sans faire d'hypothèse a priori sur le modèle qui décrit les spins électroniques.

Enfin, la théorie de la réponse linéaire permet grâce au théorème de fluctuation-dissipation de définir les fonctions de réponse en termes des fonctions de corrélation symétriques:

$S_{lk}(t-t')=\frac 1 2 \langle A_l(t) A_k(t') + A_k(t') A_l(t)\rangle$

Perturbations non mécaniques

Dans ce qui précède, on a admis que la fonction de réponse pouvait être obtenue en calculant l'évolution d'un système dont le Hamiltonien dépend explicitement du temps par la théorie de perturbations. Dans ce cas, on parle de perturbations mécaniques.

Cependant, si on veut pouvoir définir des quantités comme la conductivité thermique ou la constante de diffusion, ce cadre est trop restrictif. En effet, un gradient thermique ne peut pas être vu comme une force agissant sur les particules d'un système. On parle alors de perturbations non mécaniques.

Dans le cas du transport thermique, une généralisation de la formule de Kubo a été proposée par J. M. Luttinger en 1964. Cette généralisation est basée sur une hypothèse d'équilibre local.

Réponse linéaire et relations de réciprocité d'Onsager

La théorie de la réponse linéaire permet de donner une justification microscopique des relations de réciprocité d'Onsager. On obtient en fait une égalité plus générale:

$Imχ l k (ω) = Imχ k l (ω)$

dans le cas où les opérateurs $A l$ et $A k$ sont tous les deux invariants par renversement du temps et où le système n'est pas placé dans un champ magnétique. Lorsque le système est placé dans un champ il faut changer le signe du champ magnétique dans le membre de droite de l'égalité. Si les opérateurs $A l$ ou $A k$ changent de signe sous le renversement du sens du temps (par exemple si ce sont deux courants), il faut appliquer le même nombre de changements de signe au membre de droite que d'opérateurs non invariants par renversement du sens du temps (dans le cas de deux courants, on doit appliquer deux changements de signe, donc le signe final ne change pas dans le membre de droite).

Relations de Kramers-Kronig

Le fait que la fonction de corrélation s'annule pour les intervalles de temps négatif est une conséquence de la causalité. En effet, cela signifie qu'au temps $t$ , la réponse du système ne dépend que des valeurs de la perturbation aux temps $t' < t$ . Cette annulation de la fonction de corrélations au temps négatif implique que sa transformée de Laplace est holomorphe dans le demi-plan supérieur. On peut donc utiliser le théorème de Cauchy pour obtenir une expression de la fonction de réponse pour $Im(z) > 0$ en fonction de sa valeur sur l'axe réel. On obtient:

$\chi(z)=\frac{1}{2i\pi} \int d\omega' \frac{\chi(\omega')}{z-\omega'}$ En faisant $z\to \omega+i 0$ et en utilisant les identités sur les distributions, on obtient les relations de Kramers-Kronig:

$\mathrm{Re}\chi(\omega)=\int \frac{d\omega'}{\pi} \frac{\mathrm{Im} \chi(\omega')}{\omega-\omega'}$ $\mathrm{Im}\chi(\omega)=-\int \frac{d\omega'}{\pi} \frac{\mathrm{Re} \chi(\omega')}{\omega-\omega'}$

Règles de somme

Les règles de somme sont des identités satisfaites par les fonctions de réponse de la forme: $\int d\omega \omega^n \chi_{lk}(\omega)= C_n$

Où $C n$ est la valeur moyenne d'un certain opérateur dans l'état d'équilibre. Ces règles de somme sont obtenues en intégrant par partie la formule de transformation de Laplace. L'intégration par partie fait apparaître des dérivées de l'opérateur $A l$ qui peuvent être représentées à l'aide de l'équation du mouvement de Heisenberg. On obtient ainsi: $C_n =\langle [H,(H,\ldots,A_l),A_k]\rangle$ .

Formalisme de Mori-Zwanzig

Le formalisme de Mori-Zwanzig utilise des opérateurs de projection pour obtenir des expressions des fonctions de réponse inverse. Par exemple, le formalisme de Mori-Zwanzig permet d'obtenir une expression pour la résistivité plutôt que la conductivité.

Références

R. Kubo J. Phys. Soc. Jpn 12, 570 (1957).

L. P. Kadanoff et P. C. Martin Ann. Phys. (NY) 24, 419 (1963).

J. M. Luttinger Phys. Rev. 135, A1505 (1964).

R. Zwanzig Phys. Rev. 123, 983 (1961); J. Chem. Phys. 33, 1338 (1960).

H. Mori Phys. Rev. 112, 1829 (1958); Prog. Theor. Phys. (Kyoto) 33, 423 (1965).

L. D. Landau et E. M. Lifshitz Cours de Physique Théorique t. 5, Physique Statistique (Mir/Ellipses)

R. Kubo, Toda, Hashistume Statistical Physics II (Springer-Verlag)

D. Forster Hydrodynamic fluctuations, broken symetries and correlation functions (Benjamin Cummings)

http://cel.ccsd.cnrs.fr/cel-00092930 (Cours de DEA sur les phénomènes hors équilibre par N. Pottier)

http://cel.ccsd.cnrs.fr/cel-00092959 (Cours de DEA sur les phénomènes hors équilibre par P.-A. Martin)

Portail de la physique

Ce document provient de « Th%C3%A9orie de la r%C3%A9ponse lin%C3%A9aire ».

Catégorie : Physique statistique

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Theorie de la reponse lineaire de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем написать курсовую

Regardez d'autres dictionnaires:

Théorie de la réponse linéaire — En physique statistique hors d équilibre, la théorie de la réponse linéaire permet de définir les susceptibilités et les coefficients de transport d un système au voisinage de l équilibre thermique indépendamment des détails du modèle. La théorie … Wikipédia en Français
Theorie de la complexite — Théorie de la complexité des algorithmes La théorie de la complexité des algorithmes étudie formellement la difficulté intrinsèque des problèmes algorithmiques. Sommaire 1 Histoire 2 Généralités 2.1 Présentation … Wikipédia en Français
Reponse impulsionnelle — Réponse impulsionnelle La réponse impulsionnelle d un système est la sortie du système lorsque l entrée est une impulsion. En effet, lorsque l on injecte cette impulsion à un système de transmission linéaire, la sortie n est pas une impulsion… … Wikipédia en Français
Theorie des graphes — Théorie des graphes Pour la notion mathématique utilisée en Théorie des ensembles, voir Graphe d une fonction. La théorie des graphes est une branche commune à l informatique et aux mathématiques étudiant les graphes et les objets qui lui… … Wikipédia en Français
Theorie de la decision — Théorie de la décision La théorie de la décision est une théorie de mathématiques appliquées ayant pour objet la prise de décision en univers risqué. Sommaire 1 Les limites de la théorie des probabilités 2 Risque ou incertitude ? 3 Gain non… … Wikipédia en Français
Theorie des jeux — Théorie des jeux Le dilemme du prisonnier est une célèbre illustration en théorie des jeux d un jeu à somme non nulle. La théorie des jeux constitue une approche mathématique de problèmes de stratégie tels qu’on en trouve en recherche… … Wikipédia en Français
Théorie des jeux comme paradigme en science sociale — Théorie des jeux Le dilemme du prisonnier est une célèbre illustration en théorie des jeux d un jeu à somme non nulle. La théorie des jeux constitue une approche mathématique de problèmes de stratégie tels qu’on en trouve en recherche… … Wikipédia en Français
Theorie des nombres — Théorie des nombres Traditionnellement, la théorie des nombres est une branche des mathématiques qui s occupe des propriétés des nombres entiers, qu ils soient entiers naturels ou entiers relatifs, et contient beaucoup de problèmes ouverts qu il… … Wikipédia en Français
Theorie de la fonctionnelle de la densite — Théorie de la fonctionnelle de la densité Méthodes numériques pour le calcul de la structure électronique Hartree Fock Théorie de la perturbation de Møller Plesset Interaction de configuration Méthode du cluster couplé Champ multi… … Wikipédia en Français
Theorie des systemes sociaux — Théorie des systèmes sociaux La théorie des systèmes sociaux est une théorie sociologique développée par le sociologue et penseur allemand Niklas Luhmann à partir des bases de la théorie de Talcott Parsons dont il a suivi les cours à Harvard… … Wikipédia en Français

Mark and share
Search through all dictionaries
Translate…
Search Internet

Share the article and excerpts