Problème de Sierpiński

Problème de Sierpiński

Nombre de Sierpiński

En mathématiques, un nombre de Sierpinski est un nombre positif, impair k tel que les entiers de la forme

k2^{n} + 1\,\!

sont composés (c.a.d. non premier) pour tous les nombres naturels n.

En 1960 Wacław Sierpiński montra qu'il existe une infinité de ces nombres.

En 1962, ayant trouvé que 78 557 = 17 x 4621 est un nombre de Sierpinski, John Selfridge conjectura que 78 557 était le plus petit de ces nombres.

Pour montrer que 78 557 est réellement le plus petit nombre de Sierpinski, il suffit pour chaque nombre impair plus petit de trouver un exposant n tel que (k. 2^n +1) soit premier. En 2000, il ne restait plus que dix-sept candidats possibles.

Seventeen or Bust, (Dix-sept ou arrêt) le projet de calcul distribué, commença à tester ces dix-sept nombres pour voir s'ils pouvaient être éliminés de la liste des nombres de Sierpinski possibles. Si le projet trouve que tous ces nombres génèrent un nombre premier, le projet aura trouvé une preuve de la conjecture de Selfridge.

Le projet réussit à trouver onze nombres premiers supplémentaires ; en conséquence, il ne reste plus que six k à tester. Le 11ième a été trouvé en octobre 2007.

Exemple : le nombre 78557

John Selfridge prouva en 1962 que 78557 est un nombre de Sierpiński.

La preuve montre que tout choix de n rentre dans au moins une catégorie parmi 7, où chaque catégorie garantit un facteur pour N.

Selfridge prouva en effet que :

  • 78557 * 22n + 1 est un multiple de 3
  • 78557 * 24n + 1 + 1 est un multiple de 5
  • 78557 * 23n + 1 + 1 est un multiple de 7
  • 78557 * 212n + 11 + 1 est un multiple de 13
  • 78557 * 218n + 15 + 1 est un multiple de 19
  • 78557 * 236n + 27 + 1 est un multiple de 37
  • 78557 * 29n + 3 + 1 est un multiple de 73

Ainsi l'on peut construire la table des exposants modulo 36 :

Si l'exposant est congru à ... modulo 36 alors N a pour diviseur...
0 3
1 5
2 3
3 73
4 3
5 5
6 3
7 7
8 3
9 5
10 3
11 13
12 3
13 5
14 3
15 19
16 3
17 5
18 3
19 7
20 3
21 5
22 3
23 13
24 3
25 5
26 3
27 37
28 3
29 5
30 3
31 7
32 3
33 5
34 3
35 13

Ainsi tous les exposants sont considérés, ce qui veut dire qu'aucun membre de la séquence ne peut être premier. On peut dire la même chose des nombres 271129, 271577, 322523, 327739, 482719, 575041, 603713, 903983, 934909, 965431, 1259779, 1290677, 1518781, 1624097, 1639459, 1777613, 2131043, etc.

Voir aussi

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