- Problème de Napoléon
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En géométrie plane, le problème de Napoléon consiste à construire au compas seul le centre d'un cercle donné. On attribue souvent ce problème et sa démonstration à Napoléon Ier, mais il n'est pas sûr que cette démonstration soit de lui. Certes, il est connu pour son goût pour les mathématiques et sa formation d'artilleur lui permet d'en maîtriser les rouages. Cependant, à la même époque, l'Italien Lorenzo Mascheroni publie sa Géométrie du compas ouvrage dans lequel il étudie justement les constructions au compas seul. Mais au livre dixième, chapitré « des centres » seul le problème 143 qui explique et démontre comment trouver le centre d'un cercle donné, traite la question, et ce de façon très différente de celle dite de Napoléon exposée ici.
Construction
Soit le cercle
dont on veut déterminer le centre. Soit un point A de .Un cercle
centré en A rencontre en B et B'.Deux cercles
centrés en B et B' et passant par A se rencontrent au point C.Un cercle
centré sur C et passant par A rencontre en D et D'Deux cercles
centrés en D et D' et passant par A se rencontrent au centre de .Remarque: il est nécessaire, pour que la construction soit réalisable, de prendre pour le rayon du cercle
, une quantité ni trop grande, ni trop petite. Plus précisément, il faut que ce rayon soit compris entre la moitié et le double du rayon du cercle .Démonstration
Le principe de la démonstration est la possibilité de construire au compas seul la longueur b²/a si les longueurs a et b sont connues.
La démonstration s'appuie sur les propriétés du triangle rectangle. Dans la figure ci-jointe, le triangle ABA' est rectangle en B et H est le pied de la hauteur issue de B, on peut donc écrire l'égalité suivante :
- AH × AA' = AB²
Donc
et 
Dans la construction précédente, on retrouve deux fois une configuration de ce type :
- les points A, B et B' sont sur le cercle de centre O et de rayon r, les distances AB, AB', BC et B'C valent R donc
- les points A, D et D' sont sur le cercle de centre C et rayon
, les distances DA, D'A, DX, D'X valent R donc 
.
Le point X est bien le centre du cercle (C)
Voir aussi
Catégories :- Cercle et sphère
- Construction géométrique
- Napoléon Bonaparte
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