Polynôme de Bernstein
- Polynôme de Bernstein
-
Ne doit pas être confondu avec Polynôme de Bernstein-Sato
(en)Les polynômes de Bernstein, nommés ainsi en l'honneur du mathématicien ukrainien S. Bernstein, permettent de donner une démonstration constructive du théorème de Stone-Weierstrass. Ils sont également utilisés dans la formulation générale des courbes de Bézier.
Description
Pour un degré m, il y a m+1 polynômes de Bernstein 
définis, sur l'intervalle [0,1], par
,
où les 
sont les coefficients binomiaux.
Ces polynômes présentent quatre propriétés importantes :
- Partition de l'unité :
![\qquad \sum_{i=0}^m B_i^m(u) = 1, \qquad \forall u \in [0,1]](7/4f793153ea646b8540577aadf07c4e57.png)
- Positivité :
![B_i^m(u) \geq 0, \qquad \forall u \in [0,1], \forall i \in 0 \dots m](6/a76d85c6cfc54ce4dc4325c08e1376d5.png)
- Symétrie :
![B_i^m(u) = B_{m-i}^m(1-u), \qquad \forall u \in [0,1], \forall i \in 0 \dots m](1/9d1089543daf80d286e35839c998dfe6.png)
- Formule de récurrence :
![B_i^m(u) =
\begin{cases}
(1-u)B_i^{m-1}(u),& i = 0\\
(1-u)B_i^{m-1}(u) + u B_{i-1}^{m-1}(u),&\forall i \in 1 \dots m-1\\
uB_{i-1}^{m-1}(u),& i = m
\end{cases}
, \qquad \forall u \in [0,1]](1/2b11f69a8ed42363217d3254666c8fb2.png)
.
On notera la grande ressemblance des polynômes avec la loi binomiale.
Exemple de polynômes de Berstein de degré 3
Voir aussi
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2010.
Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Polynôme de Bernstein de Wikipédia en français (auteurs)
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