- Partie étoilée
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Exemple de partie étoilée : la partie rouge est
1. étoilée par rapport au point vert, mais
2. pas étoilée par rapport au point bleuEn géométrie, une partie A d'un espace affine réel E est dite étoilée par rapport à un point a de A si, pour tout point x de A, le segment [a,x] est contenu dans A.
Définitions
Plus formellement, puisque le segment [a,x] est l'ensemble des barycentres à coefficients positifs des points a et x : une partie non vide A de E est étoilée par rapport à un point a de E si
(Cette condition assure que a est forcément dans A.)
Une partie de E est dite étoilée (sans plus de précisions) si elle est étoilée par rapport à un point au moins.
Propriétés affines
- Une partie non vide est étoilée par rapport à a si et seulement si elle est stable sous l'action des homothéties de centre a et de rapport t pour t positif inférieur à 1.
- Une partie de E est convexe si et seulement si elle est étoilée par rapport à chacun de ses points.
- Dans le plan, le complémentaire d'une demi-droite est étoilé mais n'est pas convexe ; le complémentaire d'un point n'est pas étoilé.
Propriétés topologiques
On suppose ici que l'espace affine réel E est topologique, c'est-à-dire associé à un espace vectoriel topologique.
- Toute partie étoilée a le type d'homotopie d'un point.
- Toute partie étoilée est connexe par arcs, et donc tout ouvert étoilé est un domaine (i.e. un ouvert connexe par arcs).
- La propriété d'être étoilé n'est pas invariante par homéomorphisme, mais les ouverts étoilés sont parmi les exemples les plus simples et les plus importants d'espaces contractiles.
- D'après le lemme de Poincaré, toute forme différentielle sur un ouvert étoilé qui est fermée est exacte.
![\forall x\in A,~\{ (1-t)a + tx,t\in [0,1] \} \subset A~.](6/a46b6da5af7991bf3236bb720dfd9135.png)
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