- Parallélogramme
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Un parallélogramme, en géométrie, est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux ; c'est un trapèze particulier.
Un parallélogramme
Sommaire
Propriétés
Si un quadrilatère est un parallélogramme alors :
- il a un centre de symétrie : le point d'intersection de ses diagonales,
- ses diagonales ont le même milieu,
- ses côtés opposés ont la même longueur,
- ses angles opposés sont égaux,
- ses angles consécutifs sont supplémentaires,
- ses côtés opposés sont parallèles.
Propriétés caractéristiques
Les propriétés suivantes d'un quadrilatère sont équivalentes et définissent chacune un parallélogramme :
- ses côtés opposés sont parallèles deux à deux,
- le quadrilatère est convexe et ses côtés opposés sont de même longueur deux à deux,
- ses diagonales se coupent en leur milieu,
- ABDC est un parallélogramme si
, - le quadrilatère est convexe et ses angles opposés ont la même mesure deux à deux,
- ses angles consécutifs sont supplémentaires deux à deux.
Reconnaître un parallélogramme
Avec les diagonales
Si les diagonales d'un quadrilatère ont le même milieu alors ce quadrilatère est un parallélogramme.
Avec les côtés
Si un quadrilatère (non croisé) a ses côtés opposés de même longueur alors ce quadrilatère est un parallélogramme.
Si un quadrilatère (non croisé) a une paire de côtés opposés parallèles et de même longueur alors ce quadrilatère est un parallélogramme.
Aire d'un parallélogramme
Soient b la longueur d'un côté du parallélogramme et h la longueur de la hauteur associée. L'aire A du parallélogramme vaut :
Aspect abstrait
(C,D) et (E,F) sont équipollents à (A,B).La notion de parallélogramme permet de définir la relation d'équipollence de deux bipoints, ce qui amène à la notion de vecteur en géométrie euclidienne :
- on appelle bipoint tout couple de points (l'ordre des points a une importance) ;
- deux bipoints (A,B) et (C,D) sont dits équipollents si ABDC est un parallélogramme, éventuellement aplati ;
- on peut dire de manière équivalente que (A,B) et (C,D) sont équipollents si [AD] et [BC] ont le même milieu (ce qui règle le problème des parallélogrammes aplatis) ;
- dans ce cas, les segments [AB] et [CD] sont parallèles et de même longueur, mais pas seulement : ils ont aussi « le même sens ».
- La relation d'équipollence est une relation d'équivalence.
- on appelle vecteur
la classe d'équivalence du bipoint (A,B), c'est-à-dire l'ensemble des bipoints équipollents à (A,B).
Un contre-exemple
Contre exemple montrant l'importance de la convexité.
Un antiparallélogrammeUn antiparallélogramme est un quadrilatère croisé dont les côtés opposés ont la même longueur deux à deux.
Dans un antiparallélogramme, les angles opposés ont la même mesure.
Articles connexes
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