Pafnouti Tchebyshev

Pafnouti Tchebyshev: Pafnouti Tchebychev

Pafnouti Tchebychev

Pafnouti Lvovitch Tchebychev (en russe : Пафнутий Львович Чебышёв) (4 mai 1821 à Okatovo, près de Borovsk - 26 novembre 1894 à Saint-Pétersbourg) était un mathématicien russe. Son nom est aussi transcrit comme Tschebyscheff (transcription française désuète), Chebyshov ou Chebyshev (forme anglo-saxonne).

Il est connu pour ses travaux dans le domaine des probabilités et des statistiques.

Tchebychev appartient à l'école mathématique russe fondée sous Catherine la Grande par Daniel Bernoulli et Euler. En est aussi issu son contemporain Lobatchevsky, initiateur de la géométrie non-euclidienne.

Tchebychev reprend le vaste programme initié par Jacques Bernoulli, Abraham de Moivre et Siméon Denis Poisson pour énoncer et démontrer de façon rigoureuse des théorèmes limites, c'est-à-dire pour établir les tendances asymptotiques des phénomènes naturels. Il établit une loi des grands nombres très générale et donne une nouvelle et brillante méthode de démonstration basée sur l'inégalité démontrée par Bienaymé.

En théorie des nombres, Tchebychev compléta en 1848 une conjecture de Gauss relative à la raréfaction des nombres premiers. Il démontra en 1850 une conjecture énoncée par Bertrand : « Pour tout entier n au moins égal à 2, il existe un nombre premier entre n et 2n ».

Il a aussi conçu un mécanisme appelé « Cheval de Tchebychev » qui convertit un mouvement de rotation en un mouvement linéaire.

Après lui, Liapounov et Markov, ses élèves, continueront son œuvre et cette tradition russe conduit à Kolmogorov, fondateur des probabilités contemporaines.

L'inégalité de Tchebychev est utilisée pour prouver la loi faible des grands nombres et le théorème de Bertrand-Tchebychev (1845|1850) mentionné plus haut.

Les polynômes de Tchebychev sont nommés en son honneur.

En électronique analogique, il existe une famille de filtres nommée « filtres de Tchebychev ».

Sommaire

1 Biographie

2 Ses recherches, ses travaux, son œuvre

2.1 Travaux en calcul des probabilités

2.2 Polynômes de Tchebychev

2.2.1 Définition

2.2.2 Relation de récurrence entre les polynômes de Tchebychev

2.2.3 Intérêt

2.3 Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

2.4 Théorèmes limites et conjecture de Gauss

2.5 Postulat de Bertrand (aussi appelé théorème de Tchebychev)

2.6 Filtres de Tchebychev

2.6.1 Filtre de type 1 (direct)

2.6.2 Filtre de type 2 (inverse)

3 La suite de ses travaux par ses élèves

4 Voir aussi

5 Liens externes

Biographie

Pafnouti Lvovitch Tchebychev est né le 16 mai 1821 à Okatovo, une petite ville de l’Ouest de la Russie, à l’ouest de Moscou, dans une famille aisée. Son père est alors officier retraité de l’armée de l’empereur de Russie et a combattu les armées d’invasion napoléoniennes. Tchebychev eut huit frères et sœurs et ses frères suivirent l’enseignement militaire de son père. Lui, pour des raisons médicales, ne pourra pas en faire autant ; en effet, il a une jambe plus courte que l’autre ce qui le handicape et lui interdit l’accès aux armes. Occupant différemment son temps que les autres enfants de son âge, il se concentra très tôt sur des activités plus scientifiques et ses capacités intellectuelles furent rapidement remarquées. Sa mère et son cousin prendront en charge dans un premier temps son éduction scolaire, sa mère lui enseignant l’écriture et la lecture quand son cousin lui apprendra le français et l’arithmétique. Plus tard, le français sera pour lui un moyen de communiquer ses travaux mathématiques aux autres scientifiques d’Europe lors des conférences internationales.

En 1832, quand Tchebychev eut 11 ans, la famille déménagea à Moscou. Il eut là-bas un tuteur en mathématiques nommé Pogorelsky, considéré comme le meilleur en la matière du moment. Il fut donc parfaitement préparé à étudier les sciences mathématiques et entra à la prestigieuse université de Moscou en 1837. Là-bas, Tchebychev fut influencé par Nikolaï Dmetrievitch Brashman, alors professeur de mathématiques appliquées depuis 1834, et il fut fasciné par les travaux d’ingénierie mécanique et hydraulique de ce dernier. Brashman apprit à ses élèves les théories d’intégration et des fonctions algébriques ainsi que les calculs de probabilité. En 1841, Tchebychev obtint son premier degré d’études universitaires et continua dans cette même université pour un master, toujours sous l’enseignement de Brashman. Sa première publication, écrite en français, traitait des intégrales multiples. Il l’envoya à Liouville en 1842 et elle apparut dans le journal de Liouville en 1843. Il continua à rechercher la reconnaissance internationale en envoyant au journal de Crelle sa seconde publication dès 1844, toujours écrite en français, cette fois-ci sur les convergences des séries de Taylor. À l’été 1846, il soutint sa thèse. La même année, le journal de Crelle édita une nouvelle publication de Tchebychev sur cette thèse, où il poursuivait le programme de Bernoulli et de Poisson consistant à donner un cadre théorique aux théorèmes limites des probabilités, en développant des résultats rigoureux mais élémentaires. En 1847, il fut invité à présenter sa thèse à Saint-Petersbourg : l’intégration au moyen des logarithmes. Il écrivit un livre intitulé teoria sravneny présentant des travaux relatifs à la théorie des nombres, qui parut en 1849 et qui lui servit à soutenir son doctorat cette même année. Cependant cette thèse ne fut publiée qu’après sa mort, il se contenta de publier quelques-uns de ces résultats en 1853.

Tchebychev fut promu professeur extraordinaire à Saint-Petersbourg en 1850. Deux ans après, il entreprit des voyages en France, en Angleterre et en Allemagne. Là-bas, il s’entretint avec de grands mathématiciens dont le Français Bienaymé. Ces rencontres furent un tournant dans sa vie qui le conduisit à se lancer dans des recherches sur les théories des mécanismes et les théories des approximations, d’où il tira les grandes lois qui portent aujourd’hui son nom. On peut citer par exemple les polynômes de Tchebychev, les filtres de Tchebychev ou encore l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev qui seront exposés dans le chapitre suivant. Il créa des liens avec des savants occidentaux et retourna régulièrement en France de 1873 jusqu’à 1893 où il tint une demi-dizaine de conférences dans les principales villes du pays. En 1893, à l’exposition universelle de Chicago, il exposa sept de ses inventions, dont une bicyclette spéciale pour femme. Il prit sa retraite du professorat de l’université de Saint-Petersbourg en 1892. On peut noter que pendant sa carrière, il reçut un nombre important de distinctions honorifiques de la part de la ville où il enseignait : il fut dès son jeune âge académicien junior de l’Académie des sciences de Saint-Petersbourg (1953), puis académicien extraordinaire (1856) et enfin académicien (1859). Il fut également un grand correspondant de la Russie auprès de plusieurs académies d’Europe occidentale : Liège (1856), Berlin (1871), Bologne (1873), Paris (1874), Londres (1877), Italie (1880) et Stockholm (1893) ; il reçut la Légion d’honneur en récompense de ses travaux en coopération avec les grands mathématiciens français de son temps. La mort l’emporta le 8 décembre 1894 à Moscou.

Sur sa vie personnelle, on sait qu’il ne s’est jamais marié et qu’il a toujours habité seul dans une grande maison, richement décorée. Il eut une fille, mais ne la reconnut jamais officiellement. Elle fut élevée par la sœur de Tchebychev et ce dernier l’aida financièrement même après son mariage avec un colonel.

Ses recherches, ses travaux, son œuvre

Dans l’ensemble de son œuvre, Tchebychev s'est penché aussi bien sur les mathématiques fondamentales qu'appliquées. Il a ainsi inventé plusieurs machines à calculer. Il a également étudié la théorie des nombres, démontrant le postulat de Bertrand ou encore les résultats sur la fonction indicatrice d'Euler. Une part importante de ses travaux a concerné les probabilités, et c’est ainsi qu’il reste connu pour les polynômes qui portent son nom. Il les introduisit dans un article sur la mécanique qui reprenait l’ensemble de ses trouvailles à l’issue de sa vie. Nombre de ses articles seront écrits en français et publiés dans le journal de Crelle. À la fin de sa carrière, Tchebychev se voulait mathématicien international plutôt que russe.

Dès le début de ses études, Tchebychev a révélé un sens inné pour la recherche et c’est en tant que professeur-chercheur qu’il va mener sa vie. Ses travaux ont surtout concerné les probabilités et les approximations, et ont débouché sur les polynômes qui portent son nom. Cela va entre autres l’amener à étudier les polynômes orthogonaux. Avec son ami Bienaymé, il va établir une formule qui lui permettra plus tard de démontrer le postulat de Bertrand. Cette formule sera aussi utilisée dans le cadre de travaux sur les théorèmes limites.

Travaux en calcul des probabilités

En ce qui concerne ses travaux en probabilités, Tchebychev posa les bases de l’application de la théorie des probabilités pour les statistiques, en généralisant les théorèmes de Moivre et Laplace dans son ouvrage On two theorems concerning probability. Il généralisera également dans la théorie des intégrales la fonction bêta, et examinera les intégrales de la forme $\int{x^p(1-x)^q dx}$ . Cela le conduira à trouver un algorithme de recherche d’une solution optimale dans un système d’équations linéaires dont on connaît une solution approchée.

Polynômes de Tchebychev

Définition

Les polynômes de Tchebychev sont définis comme des polynômes d'interpolation et notés généralement $T n$ . On les utilise dans les approximations polynomiales de fonctions numériques. Ils sont définis sur l'intervalle $[ - 1;1]$ par $T_n(\cos x) = \cos nx~$ .

Ainsi, avec $n$ appartenant aux entiers naturels, on appelle polynôme de Tchebychev de degré $n$ l’application définie par :

$T_n : [-1; 1] \rightarrow \R,\qquad T_n(x) = \cos(n\,\arccos(x))$

Relation de récurrence entre les polynômes de Tchebychev

Énoncé : on a $T_0(x) = 1~$ et $T_1(x) = x~$ et, pour tout $n$ appartenant à $\N : \quad T_{n+2}(x) = 2x\,T_{n+1}(x) - T_n(x)$

Intérêt

L’interpolation de Lagrange provoque un problème de convergence (due au phénomène de Runge). Tchebychev s’est aperçu qu’en utilisant les racines de ces polynômes comme points d’interpolation, on peut réduire la marge d’erreur provoquée par l’interpolation ; c’est d’ailleurs dans ce but qu’il a étudié ces polynômes. D’autre part, on verra plus loin que les polynômes de Tchebychev sont utilisés en électricité analogique dans le cadre des filtres. Ils sont également utilisés pour démontrer le théorème de Weierstrass dont l’énoncé est le suivant : Toute fonction continue sur un intervalle est limite uniforme d'une suite de polynômes.

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Tchebychev a beaucoup travaillé dans le cadre des probabilités, on le considère d’ailleurs comme celui qui a lancé le courant des probabilités contemporaines. En 1867, il publia l’article On mean values dans lequel il présentait l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev afin de donner une loi générale des grands nombres.

Énoncé : soit la variable aléatoire réelle continue $X$ , d'espérance mathématique $E (X) = m$ et de variance $V (X) = σ 2$ . Alors, $P(|X - m| > \lambda\sigma) \leqslant 1/\lambda^2$ .

Théorèmes limites et conjecture de Gauss

Jacques Bernoulli, Abraham de Moivre et Siméon Denis Poisson avaient déjà travaillé sur les théorèmes limites. Tchebychev reprit leurs travaux, et démontra les tendances asymptotiques des phénomènes naturels. Il établit une loi des grands nombres très générale et donna une nouvelle méthode de démonstration basée sur l'inégalité démontrée par Bienaymé.

Poussant toujours plus loin ses travaux, en 1848, il obtint des résultats sur la conjecture de Gauss (1792). Soit $π(n)$ le nombre de nombres premiers inférieurs à $n$ . Gauss conjecture que la fonction $π(n)$ équivaut à $\frac n{\ln n}$ quand $n$ tend vers l'infini. Tchebychev compléta ainsi la conjecture en prouvant que, si la suite de terme général $\frac{\pi(n)\ln n}n$ est convergente, alors sa limite est 1.

Riemann a lui aussi tenté de démontrer cette conjecture, mais sans succès. Il a étudié les zéros de la fonction zêta, émettant l'hypothèse (hypothèse de Riemann) qu'ils ont tous une partie imaginaire égale à 1/2. Cette hypothèse est le 8^e problème de Hilbert et n’est toujours pas démontrée.

Postulat de Bertrand (aussi appelé théorème de Tchebychev)

(Démontré grâce à la formule de Tchebychev)

Énoncé : Pour tout entier $n > 2$ , il existe au moins un nombre premier compris entre les entiers $n$ et $2 n$ .

Histoire : Cette conjecture est énoncée et admise par Joseph Bertrand. Il la vérifie jusqu'à 3 106. Elle ne sera démontrée qu'en 1851 par Tchebychev qui utilise dans sa démonstration l'inégalité qui porte son nom. Le mathématicien allemand Robert Breusch l'améliore en 1931, il démontre que pour tout entier $n > 47$ , il existe un nombre premier entre $n$ et $9 n / 8$ . Le mathématicien hongrois Paul Erdős propose en 1932 une autre démonstration.

Grâce à l’affirmation de la conjecture de Gauss, il réussit à prouver que $p (2 n) - p (n) > 0$ pour tout $n > 1$ , ce qui démontre la conjecture énoncée par Bertrand : Pour tout entier $n$ au moins égal à 2, il existe un nombre premier entre $n$ et $2 n$ .

Édouard Lucas énonce la conjecture de Bertrand sous une autre forme : Pour $2 a > 7$ , il y a au moins un nombre premier compris entre $a$ et $(2 a - 2)$ . Ceci peut également s'écrire : pour tout entier $a > 3$ , il existe (au moins) un nombre premier $p$ tel que $a < p < 2 a - 2$ . Posons $a - 1 = n$ : pour $2 n > 5$ , il y a au moins un nombre premier compris entre $n + 1$ et $2 n$ , donc compris entre $n$ et $2 n$ . L'inégalité $2 n > 5$ implique, en nombres entiers, $n$ au moins égal à 3. Mais si $n = 2$ , le nombre 3 est premier entre 2 et 4, d'où la formulation donnée.

Filtres de Tchebychev

En électronique analogique, il existe une famille de filtres nommée filtres de Tchebychev. On les nomme ainsi en raison de leurs caractéristiques mathématiques, qui sont dérivées des polynômes de Tchebychev.

Les filtres de Tchebychev sont un type de filtre caractérisé par l'acceptation d'une ondulation, soit en bande passante, soit en bande atténuée. Dans le cas d’une bande passante, on parle de filtres de Tchebychev directs ou de type 1 ; dans le cas d’une bande atténuée, on parle de filtres de Tchebychev inverses ou de type 2. Les filtres qui présentent une ondulation à la fois en bande passante et en bande atténuée sont appelés filtres elliptiques.

Filtre de type 1 (direct)

Le filtre de Tchebychev de type 1 présente de multiples ondulations en bande passante, mais, à ordre constant, il permet une meilleure sélectivité que le filtre de Butterworth. La valeur maximale des ondulations en bande passante est un paramètre de conception du filtre. Plus cette valeur est importante (à ordre constant), plus le filtre est sélectif (i. e. sa pente est plus raide hors bande passante). Au voisinage de la fréquence de coupure, le déphasage est plus perturbé que pour le filtre de Butterworth, ce qui peut être préjudiciable, notamment en transmission de données (distorsion de phase). Dans les cas où l'ondulation et le déphasage ne posent pas de problème, on retrouve assez couramment ce type de filtre.

Filtre de type 2 (inverse)

Le filtre de Tchebychev de type 2 est le dual du filtre de Tchebychev de type 1. Il présente une évolution monotone en bande passante et des ondulations en bande atténuée. La courbe de réponse oscille entre une série de maximums, avec une valeur spécifiée par le constructeur du filtre, et une série de points où l'atténuation est totale : il s’agit des pôles. À cause de la présence des pôles à des fréquences finies, le filtre de Tchebychev de type 2 présente une configuration de base qui utilise, du point de vue de la réalisation analogique, des composants simples avec des circuits LC série ou parallèle. Toujours en analogique, la nécessité de régler les circuits LC précisément entraîne des complications de conception. Par contre, en numérique, il n'y a pas plus de difficulté de conception qu'avec le type 1, auquel il est alors souvent préféré (à cause de meilleures caractéristiques en bande passante).

La suite de ses travaux par ses élèves

Avant de mourir, Tchebychev a fourni à ses élèves de l’université de Saint Petersbourg un enseignement inestimable. Ses élèves, Markov et Liapounov, lui succédèrent et approfondirent ses travaux, lançant ainsi une tradition russe autour des probabilités, ce qui conduira aux travaux de Kolmogorov, le véritable père des probabilités contemporaines. D’autre part, Liapounov établit une théorie de la stabilité et du mouvement des systèmes mécaniques déterminés par un nombre fini de paramètres. Avant lui, les problèmes de stabilité étaient résolus en linéarisant les équations différentielles et en négligeant tout ce qui était d’ordre supérieur. L’avancée significative de Liapounov est d’avoir avancé une méthode générale pour la solution des problèmes de stabilité. Markov, de son côté, étudia la théorie des probabilités en apportant beaucoup à cette branche des mathématiques et mis au point les fameuses chaines de Markov, il établit une solution simple pour déterminer la limite supérieur de la dérivée d’un polynôme en connaissant la limite supérieur de ce polynôme. D’autres travaux de Tchebychev furent repris à travers l’Occident surtout par les nombreux contacts qu’il s’était fait pendant ses voyages ; comme par exemple la démonstration du postulat de Bertrand qui conduisit Hadamard et La Vallée-Poussin à mettre à jour un résultat plus poussé en 1896.

Voir aussi

Polynômes de Tchebychev

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Mesures secondaires

Liens externes

(en) John J. O'Connor et Edmund F. Robertson, Pafnuty Lvovich Chebyshev, MacTutor History of Mathematics archive.

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