- Orbitographie
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L'orbitographie, dans le domaine de l'astronautique, est la détermination des éléments orbitaux d'un satellite artificiel.
Les termes correspondants en anglais sont orbitography et orbit determination.
Deux problèmes célèbres d'orbitographie sont :
- problème de Lambert : connaissant deux évènements (position et date){P1,t1} et {P2,t2} déterminer le mouvement.
- problème de Gauss : connaissant 3 positions P1,P2,P3 déterminer l'orbite, puis le mouvement.
(Histoire des sciences : Gauss en 1801 se fait connaître pour avoir retrouvé Cérès, à partir de données parcellaires recueillies en janvier 1801).
Sommaire
problème de Gauss
On le traite de nos jours , avec les vecteurs, inventés par Gibbs vers 1890.
Les 3 vecteurs OP1 , OP2 , OP3 définissent le plan de la trajectoire (avec surabondance, donc méthode des moindres carrés pour améliorer). D'où le vecteur perpendiculaire à ce plan , k . Soit à trouver la direction du périgée , i ; la direction orthogonale j : = i/\k complète le trièdre.
- Théorème de Gibbs : le vecteur de Gauss-Gibbs, G , donne la direction de j,
avec G := OP1 ( r2-r3) + permutation circulaire.
Soient la demi-ellipse et sur elle , Po, le périgée , H le point de l'ellipse tel que OH // j , B le point du petit axe , et A l'apogée : on peut pour vérification, calculer les 4 vecteurs de Gibbs correspondants à 3 parmi 4 de ces positions. Cela permet d'acquérir de "l'intuition".
Le théorème de Gibbs permet donc d'accéder à l'angle θ1 :=(OPo,OP1), ainsi que les deux autres. Soient 3 équations type p = r1 + e . r1.cosθ1 , qui permettent , par moindres carrés de trouver p et e ; ce qui achève la détermination de l'orbite. Il faut évidemment au moins une date pour finir le problème du mouvement.
Remarque : l'intuition de Gauss était que 2e = ||G||/aire-triangle(P1P2P3). C'est exact (théorème 2 de Gibbs, laissé en exercice).
Remarque : n'a été traité que le cas de 3 points se succédant sur une demi-ellipse : si le décalage temporel atteint plus que la demi-période, il convient de faire attention à la disposition des 3 points.
- Démonstration du théorème de Gibbs :
On appelle vecteur excentricité le vecteur e : = OC/a , C étant le centre de l'ellipse. Ce vecteur est donc e = -e i .
On rappelle que c'est un invariant (SO4) du problème de Kepler :
e := r/r + Lo/\v/mGM ; (Lo := moment cinétique)
et en particulier, comme vu plus haut : p-r = e.r.
Calculer G.e : il vient (p-r1)(r2-r3) + perm-cir = 0 .
FIN de démonstration.
- théorème 2 de Gibbs :
Soit A : = r1/\r2 + permut.cir ; alors e = ||G||/||A||.
Encore une fois , pour se donner un peu d'intuition calculer les 4 cas particuliers indiqués précédemment. Puis passer à la démonstration.
- théorème 3 de Gibbs :
Soit enfin le vecteur-volume des aires pondérées : V : = (r1/\r2). r3 + permut.cir .
Alors p = ||V||/||A||.
Le vérifier d'abord sur les 4 cas. Le démontrer ensuite.
- On peut ensuite calculer le vecteur vitesse en chacun des 3 points via le vecteur-excentricité.
problème de Lambert
remarquable travail en 1760 : déterminer le mouvement connaissant deux évènements.
Plummer (an introductory treatise on dynamical astronomy , 1960, ed Dover) donne la solution analytique de ce problème. Pollard (Celestial Mechanics, 1966, ed Prentice-Hall) y fait référence. Guiziou ([1]) propose l'élégante solution suivante : se ramener au problème de Gauss.
Plus précisément, soit P1 et P3 les 2 points. On définit le point P2 par : OP2 := k ( OP1 + OP3), avec k pour le moment indéterminé. On est ainsi ramené au problème de Gauss-Gibbs. Il n'y a qu'un seul k qui donne une durée (t3-t1) pour décrire l'arc d'ellipse de P1 en P3 : on résout numériquement l'équation t3-t1 = f(k) ce qui donne k et achève le problème.
Référence
Droit français : arrêté du 20 février 1995 relatif à la terminologie des sciences et techniques spatiales.
Voir aussi
Wikimedia Foundation. 2010.
