Orbitographie

Orbitographie

L'orbitographie, dans le domaine de l'astronautique, est la détermination des éléments orbitaux d'un satellite artificiel.

Les termes correspondants en anglais sont orbitography et orbit determination.

Deux problèmes célèbres d'orbitographie sont :

  • problème de Lambert : connaissant deux évènements (position et date){P1,t1} et {P2,t2} déterminer le mouvement.
  • problème de Gauss : connaissant 3 positions P1,P2,P3 déterminer l'orbite, puis le mouvement.

(Histoire des sciences : Gauss en 1801 se fait connaître pour avoir retrouvé Cérès, à partir de données parcellaires recueillies en janvier 1801).

Sommaire

problème de Gauss

On le traite de nos jours , avec les vecteurs, inventés par Gibbs vers 1890.

Les 3 vecteurs OP1 , OP2 , OP3 définissent le plan de la trajectoire (avec surabondance, donc méthode des moindres carrés pour améliorer). D'où le vecteur perpendiculaire à ce plan , k . Soit à trouver la direction du périgée , i ; la direction orthogonale j : = i/\k complète le trièdre.

  • Théorème de Gibbs : le vecteur de Gauss-Gibbs, G , donne la direction de j,

avec G := OP1 ( r2-r3) + permutation circulaire.

Soient la demi-ellipse et sur elle , Po, le périgée , H le point de l'ellipse tel que OH // j , B le point du petit axe , et A l'apogée : on peut pour vérification, calculer les 4 vecteurs de Gibbs correspondants à 3 parmi 4 de ces positions. Cela permet d'acquérir de "l'intuition".

Le théorème de Gibbs permet donc d'accéder à l'angle θ1 :=(OPo,OP1), ainsi que les deux autres. Soient 3 équations type p = r1 + e . r1.cosθ1 , qui permettent , par moindres carrés de trouver p et e ; ce qui achève la détermination de l'orbite. Il faut évidemment au moins une date pour finir le problème du mouvement.

Remarque : l'intuition de Gauss était que 2e = ||G||/aire-triangle(P1P2P3). C'est exact (théorème 2 de Gibbs, laissé en exercice).

Remarque : n'a été traité que le cas de 3 points se succédant sur une demi-ellipse : si le décalage temporel atteint plus que la demi-période, il convient de faire attention à la disposition des 3 points.

  • Démonstration du théorème de Gibbs :

On appelle vecteur excentricité le vecteur e : = OC/a , C étant le centre de l'ellipse. Ce vecteur est donc e = -e i .

On rappelle que c'est un invariant (SO4) du problème de Kepler :

e := r/r + Lo/\v/mGM ; (Lo := moment cinétique)

et en particulier, comme vu plus haut : p-r = e.r.

Calculer G.e : il vient (p-r1)(r2-r3) + perm-cir = 0 .

FIN de démonstration.

  • théorème 2 de Gibbs :

Soit A : = r1/\r2 + permut.cir ; alors e = ||G||/||A||.

Encore une fois , pour se donner un peu d'intuition calculer les 4 cas particuliers indiqués précédemment. Puis passer à la démonstration.

  • théorème 3 de Gibbs :

Soit enfin le vecteur-volume des aires pondérées : V : = (r1/\r2). r3 + permut.cir .

Alors p = ||V||/||A||.

Le vérifier d'abord sur les 4 cas. Le démontrer ensuite.

  • On peut ensuite calculer le vecteur vitesse en chacun des 3 points via le vecteur-excentricité.

problème de Lambert

remarquable travail en 1760 : déterminer le mouvement connaissant deux évènements.

Plummer (an introductory treatise on dynamical astronomy , 1960, ed Dover) donne la solution analytique de ce problème. Pollard (Celestial Mechanics, 1966, ed Prentice-Hall) y fait référence. Guiziou ([1]) propose l'élégante solution suivante : se ramener au problème de Gauss.

Plus précisément, soit P1 et P3 les 2 points. On définit le point P2 par : OP2 := k ( OP1 + OP3), avec k pour le moment indéterminé. On est ainsi ramené au problème de Gauss-Gibbs. Il n'y a qu'un seul k qui donne une durée (t3-t1) pour décrire l'arc d'ellipse de P1 en P3 : on résout numériquement l'équation t3-t1 = f(k) ce qui donne k et achève le problème.

Référence

Droit français : arrêté du 20 février 1995 relatif à la terminologie des sciences et techniques spatiales.

Voir aussi


Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Orbitographie de Wikipédia en français (auteurs)

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