Opposé (mathématiques)

Opposé (mathématiques)
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Cas particulier des nombres

Lopposé dun nombre n est le nombre qui, ajouté à n, donne zéro.

Par exemple :

  • lopposé de 7 est égal à -7 car 7 + (-7) = 0 ;
  • lopposé de -0,3 est 0,3 car -0,3 + 0,3 = 0.

Ainsi daprès le dernier exemple, -(-0,3) = 0,3.

Plus généralement, si E est un ensemble muni dune loi interne daddition associative et commutative, lopposé dun élément x de E est le symétrique (sil existe) de cet élément, et est noté en général -x.

Si de plus tous les éléments de E sont symétrisables pour la loi daddtion, alors il est possible de définir une loi de ×E dans E par :

\forall n\in\mathbb{Z}, \forall x\in E, n.x=\left\{\begin{matrix}\underbrace{x+x+\ldots+x} & {\ \rm si\ }n><span class=0\\{}_{n{\ \rm fois}}\\0 & {\ \rm si\ }n=0\\\underbrace{(-x)+(-x)+\ldots+(-x)} & {\ \rm si\ }n<0\\{}_{-n\ {\rm fois}}\end{matrix}\right." border="0">

Dans les cas particuliers des ensembles , , et \mathbb{C}, le produit pour la multiplication interne dun nombre par -1 est égal à lopposé de ce nombre.

Les ensembles dont tous les éléments admettent un opposé pour laddition dans cet ensemble sont :

En revanche, l'ensemble des entiers naturels n'a pas cette propriété : 3 a bien un opposé, -3, mais ce n'est pas un entier naturel.

Pour construire lensemble des entiers relatifs à partir de lensemble des entiers naturels, il suffit dinclure formellement à ce dernier les opposés des entiers naturels. Ainsi, on dit que lensemble des entiers naturels nest pas stable pour lopposé, parce que leurs opposés ne sont pas des entiers naturels.

Définition générale

Soient (G,+) un groupe commutatif, dont la loi de composition interne est notée additivement et dont lélément neutre est noté 0, et x un élément quelconque de G. On appelle opposé de x et on note -x lélément symétrique de x, i. e. lunique élément -x de G tel que :

x + (-x) = (-x) + x = 0.

Voir aussi


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