Nombre de Giuga

Nombre de Giuga

En mathématiques, un nombre de Giuga est[1] un entier naturel n composé qui satisfait à la congruence

\sum_{j=1}^{j=n-1} j^{n-1} \equiv -1 \pmod n.

D'après le petit théorème de Fermat les nombres premiers satisfont à la congruence. Giuga conjectura en 1950 que l'ensemble des nombres composés satisfaisant à la congruence est vide, c'est la conjecture d'Agoh-Giuga. Les nombres de Giuga sont des nombres de Carmichael (donc sans carré).

Sommaire

Caractérisation des nombres de Giuga

Un nombre n est un nombre de Giuga si et seulement si[1]

  • il est composé
  • p2(p − 1) | n − p pour tout facteur premier p de n.

Majoration de la fonction de comptage des nombres de Giuga

La fonction G qui compte le nombre de nombres de Giuga inférieurs à x a été étudiée et Tipu[2] a montré que G(x) = O(x1 / 2ln x).

Cette majoration a été améliorée par Luca, Pomerance et Shparlinski[1] :

G(x) = O\left(\frac{x^{1/2}}{\ln^2 x}\right).

Nombres faiblement de Giuga

Certains auteurs[3],[4] appellent « nombres de Giuga » ce que Luca, Pomerance et Shparlinski[1] préfèrent nommer weak Giuga numbers. Ce sont les entiers composés vérifiant la propriété plus faible : p2 | n − p pour tout facteur premier p de n. Contrairement aux précédents, on en connaît des exemples : suite A007850 de l’OEIS. Ces nombres sont exactement les nombres composés solutions de l'équation n' = an+1 avec (a entier naturel) où n' désigne la dérivée arithmétique[5].

Références

  1. ↑ a, b, c et d (en) Florian Luca, Carl Pomerance et Igor Shparlinski, « On Giuga Numbers », dans International Journal of Modern Mathematics, vol. 4, no 1, 2009, p. 13–18 [texte intégral] 
  2. ↑ (en) Vicentiu Tipu, « A note on Giuga's conjecture », dans Canadian Mathematical Bulletin, vol. 50, 2007, p. 158-160 .
  3. ↑ (en) Eric W. Weisstein, « Giuga number », MathWorld
  4. ↑ (en) David Borwein (en), Jonathan Borwein (en), Peter Borwein (en) et Roland Girgensohn, « Giuga's Conjecture on Primality » dans American Mathematical Monthly 103 (1996), 40-50 [lire en ligne].
  5. ↑ Texte en accès libre sur arXiv : 1103.2298.

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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Nombre de Giuga de Wikipédia en français (auteurs)

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