Nombre carre triangulaire

Nombre carre triangulaire

Nombre carré triangulaire

Un nombre carré triangulaire est un nombre qui est à la fois un nombre triangulaire et un nombre carré. Il y a une infinité de nombres carrés triangulaires, qui s'écrivent sous la forme

N_k = {1 \over 32} \left( \left( 1 + \sqrt{2} \right)^{2k} - \left( 1 - \sqrt{2} \right)^{2k} \right)^2.

Le problème de la recherche des nombres carrés triangulaires fut ramené à la résolution d'une équation de Pell-Fermat de la manière suivante. Tout nombre triangulaire est de la forme \frac{n(n+1)}{2}\,. Ainsi nous recherchons des entiers n et m tels que

n(n+1)/2 = m^2\,.

c'est-à-dire tels que

(2n+1)^2=8m^2+1\,

et en posant k = 2n + 1\,, nous obtenons l'équation diophantienne

k^2=8m^2+1\,

qui est un cas particulier de l'équation de Pell-Fermat.

Le k-ième carré triangulaire Nk est égal au s-ième nombre carré :

s(N) = \sqrt{N}\,

et le t-ième nombre triangulaire vétifie

t(N) = \left[ \sqrt{2 N} \right]\,

où [ ] représente la partie entière.

t est donné par

t(N_k) = {1 \over 4} \left( \left( \left( 1 + \sqrt{2} \right)^k + \left( 1 - \sqrt{2} \right)^k \right)^2 - \left( 1 + (-1)^k \right)^2 \right) .

Lorsque k tend vers l'infini, le rapport t/s tend vers la racine carrée de deux:

\begin{matrix} N=1 & s=1 & t=1 & t/s=1 \\ N=36 & s=6 & t=8 & t/s = 1,3333333 \\ N=1225 & s=35 & t=49 & t/s = 1,4 \\ N=41 616 & s=204 & t=288 & t/s = 1,4117647 \\ N=1 413 721 & s=1189 & t=1681 & t/s = 1,4137931 \\ N=48 024 900 & s=6930 & t=9800 & t/s = 1,4141414 \\ N=1 631 432 881 & s=40391 & t=57121 & t/s = 1,4142011 \end{matrix}

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