Méthode Trachtenberg

La méthode Trachtenberg est une méthode de calcul mental inventée par Jacow Trachtenberg dans le but de garder un esprit sain lors de son emprisonnement dans un camp de concentration.

Cette méthode permet d'effectuer rapidement des calculs arithmétiques complexes en les décomposant en calculs plus simples.

Sommaire 1 Remarques préliminaires 2 Multiplication par des petits chiffres 2.1 Multiplication par 3 2.2 Multiplication par 4 2.3 Multiplication par 5 2.4 Multiplication par 6 2.5 Multiplication par 7 2.6 Multiplication par 8 2.7 Multiplication par 9 2.8 Multiplication par 11 2.9 Multiplication par 12 2.10 Multiplication par 13

Remarques préliminaires

Remarque n°1 : Dans une multiplication de deux nombres (facteurs), le premier facteur est appelé multiplicande et le second multiplicateur. Le résultat de l'opération est le produit.

Remarque n°2 : Chiffre et nombre sont deux notions distinctes. Un nombre est écrit à l'aide de chiffres. Les astuces de calcul décrites ci-dessous se basent sur une technique simple qui consiste à considérer chaque chiffre du multiplicande en tant que nombre sur lequel on applique la règle énoncée. Par abus de langage, mais pour simplifier la compréhension des astuces, la suite de cet article n'emploiera que le terme chiffre dans son sens strict ou en remplacement du terme nombre.

Remarque n°3 : Pour appliquer les astuces ci-dessous, il faut procéder au calcul des chiffres du produit de la droite vers la gauche (depuis les unités en remontant vers les chiffres de poids de plus en plus fort) à partir des chiffres du multiplicande dans le même ordre.

Remarque n°4 : Il faut rajouter à gauche du multiplicande un nombre égal de zéros au nombre de chiffres dans le multiplicateur
Ex 1 : en multipliant 325 * 6, on prend 0325 * 6. Ex 2 : en multipliant 325 * 12, on prend 00325 * 12

Remarque n°5 : Quand on divise par deux un chiffre impair, on ne tient pas compte des chiffres après la virgule.
Ex 1 : 3 / 2 = 1 (et non 1,5). Ex 2 : 7 / 2 = 3 (et non 3,5)

Multiplication par des petits chiffres

Multiplication par 3

Règle : Soustraire le dernier chiffre de 10, le multiplier par deux et ajouter 5 s'il est impair. Soustraire les autres de 9, multiplier par deux et ajouter la moitié du voisin de droite et 5 si le chiffre est impair. Prendre la moitié du chiffre de gauche moins 2.

Exemple 1 : 5314 x 3 = ?

(10 - 4) * 2 = 12 ⇒ 2 et retenue de 1
(9 - 1) * 2 + (4 / 2) + 5 (car 1 est impair) + 1 de retenue = 24 ⇒ 4 et retenue de 2
(9 - 3) * 2 + (1 / 2) + 5 (car 3 est impair) + 2 (de retenue) = 19 ⇒ 9 et retenue de 1
(9 - 5) * 2 + (3 / 2) + 5 (car 5 est impair) + 1 (de retenue) = 15 ⇒ 5 et 1 de retenue
(5 / 2) - 2 + 1 (de retenue) = 1
résultat de 15942

Exemple 2 : 3267 x 3 = ?

(10 - 7) * 2 + 5 (car 7 est impair) = 11 ⇒ 1 et retenue de 1
(9 - 6) * 2 + (7 / 2) + 1 (de retenue) = 10 ⇒ 0 et retenue de 1
(9 - 2) * 2 + (6 / 2) + 1 (de retenue) = 18 ⇒ 8 et retenue de 1
(9 - 3) * 2 + (2 / 2) + 5 (car 3 est impair) + 1 (de retenue) = 19 ⇒ 9 et 1 de retenue
(3 / 2) - 2 + 1 (de retenue) = 0
résultat de 9801

Multiplication par 4

Règle : Soustraire le dernier chiffre de 10 et ajouter 5 s'il est impair. Soustraire les autres de 9 et ajouter la moitié du voisin de droite et 5 si le chiffre est impair. Prendre la motié du chiffre de gauche moins 1.

Exemple 1 : 5314 x 4 = ?

(10 - 4) =6 
(9 - 1) + (4 / 2) + 5 (car 1 est impair) = 15 ⇒ 5 et retenue de 1
(9 - 3) + (1 / 2) + 5 (car 3 est impair) + 1 (de retenue) = 12 ⇒ 2 et retenue de 1
(9 - 5) + (3 / 2) + 5 (car 5 est impair) + 1 (de retenue) = 11 ⇒ 1 et 1 de retenue
(5 / 2) - 1 + 1 (de retenue) = 2
résultat de 21256

Exemple 2 : 3267 x 4 = ?

(10 - 7) + 5 (car 7 est impair) = 8 
(9 - 6) + (7 / 2) = 6 
(9 - 2) + (6 / 2) = 10 ⇒ 0 et retenue de 1
(9 - 3) + (2 / 2) + 5 (car 3 est impair) + 1 (de retenue) = 13 ⇒ 3 et 1 de retenue
(3 / 2) - 1 + 1 (de retenue) = 1
résultat de 13068

Multiplication par 5

Règle : La moitié du voisin de droite, + 5 si le chiffre est impair.

Énoncée d'une manière différente : Chaque chiffre du produit est égal à la moitié du voisin de droite du chiffre du multiplicande occupant la même position, augmenté de 5 si ce dernier est impair.

Exemple 1 : 413 x 5 = 2065

4 : 2 = 2
1 : 2 = 0 
3 : 2 = 1 + 5 (car "3" est le voisin de droite de "1" qui est impair) = 6
Recopier 5 (car le multiplicande est impair)

Exemple 2 : 812 x 5 = 4060

8 : 2 = 4
1 : 2 = 0 
2 : 2 = 1 + 5 (car "2" est le voisin de droite de "1" qui est impair) = 6
Recopier 0 (car le multiplicande est pair)

Exemple 3 : 5036 x 5 = ?

5 : 2 = 2
0 : 2 = 0 + 5 (car "0" est le voisin de droite de "5" qui est impair) = 5
3 : 2 = 1 
6 : 2 = 3 + 5 (car "6" est le voisin de droite de "3" qui est impair) = 8
Recopier 0 (car le multiplicande est pair)
Résultat : 25180

Multiplication par 6

Règle : Ajouter la moitié du voisin de droite à chaque chiffre, plus 5 si le chiffre est impair et l'éventuelle retenue du rang immédiatement inférieur.

Exemple 1 : 5314 x 6 = ?

On commence par rajouter un 0 à gauche de 5314 ⇒ 05314 (remarque n°4)
On commence par la droite (remarque n°3)
4 (n'a pas de voisin de droite) ⇒ 4
1 + (4 : 2) + 5 (car "1" est impair) = 8
3 + (1 : 2) + 5 (car "3" est impair) = 8 
5 + (3 : 2) + 5 (car "5" est impair) = 11 ⇒ 1 et retenue de 1
0 + (5 : 2) + 1 (retenue précédente) = 3
résultat de 31884

Exemple 2 : 3267 x 6 = ?

On rajoute un 0 à gauche de 3267 ⇒ 03267 (remarque n°4)
7 (n'a pas de voisin de droite) + 5 (car "7" est impair) = 12 ⇒ 2 et retenue de 1
6 + (7 : 2) + 1 (retenue précédente) = 10 ⇒ 0 et retenue de 1
2 + (6 : 2) + 1 (retenue précédente) = 6 
3 + (2 : 2) + 5 (car "3" est impair) = 9 
0 + (3 : 2) = 1
résultat de 19602

Multiplication par 7

Règle : Doubler chaque chiffre et ajouter la moitié du voisin de droite, + 5 si le chiffre est impair.

Exemple 1 : 5314 x 7 = ?

On commence par rajouter un 0 à gauche de 5314 ⇒ 05314 (remarque n°4)
4 * 2 = 8
1 * 2 + (4 : 2) + 5 (car "1" est impair) = 9
3 * 2 + (1 : 2) + 5 (car "3" est impair) = 11 ⇒ 1 et retenue de 1
5 * 2 + (3 : 2) + 5 (car "5" est impair) + 1 (de retenue) = 17 ⇒ 7 et retenue de 1
0 * 2 + (5 : 2) + 1 (retenue précédente) = 3
résultat de 37198

Exemple 2 : 3267 x 7 = ?

On commence par rajouter un 0 à gauche de 3267 ⇒ 03267 (remarque n°4)
7 * 2 + 5 (car "7" est impair) = 19 ⇒ 9 et retenue de 1
6 * 2 + (7 : 2) + 1 (de retenue) = 16 ⇒ 6 et retenue de 1
2 * 2 + (6 : 2) + 1 (de retenue) = 8 
3 * 2 + (2 : 2) + 5 (car "3" est impair) = 12 ⇒ 2 et retenue de 1
0 * 2 + (3 : 2) + 1 (retenue précédente) = 2
résultat de 22869

Multiplication par 8

Règle : Soustraire le dernier chiffre de 10 et doubler le résultat. Soustraire les autres chiffres de 9. Doubler le résultat et ajouter au voisin de droite. Enlever 2 au premier chiffre.

Exemple 1 : 5314 x 8 = ?

(10 - 4) * 2 = 12 ⇒ 2 et retenue de 1
(9 - 1) * 2 + 4 + 1 (retenue) = 21 ⇒ 1 et retenue de 2
(9 - 3) * 2 + 1 + 2 (de retenue) = 15 ⇒ 5 et retenue de 1
(9 - 5) * 2 + 3 + 1 (de retenue) = 12 ⇒ 2 et retenue de 1
(5 - 2) + 1 (de retenue) = 4
résultat de 42512

Exemple 2 : 3267 x 8 = ?

(10 - 7) * 2 = 6 
(9 - 6) * 2 + 7 = 13 ⇒ 3 et retenue de 1
(9 - 2) * 2 + 6 + 1 (de retenue) = 21 ⇒ 1 et retenue de 2
(9 - 3) * 2 + 2 + 2 (de retenue) = 16 ⇒ 6 et retenue de 1
(3 - 2) + 1 (de retenue) = 2
résultat de 26136

Multiplication par 9

Règle : Soustraire le dernier chiffre de 10, soustraire les autres de 9 et ajouter le résultat au voisin de droite. Soustraire 1 au premier chiffre.

Exemple 1 : 5314 x 9 = ?

(10 - 4) = 6 
(9 - 1) + 4 = 12 ⇒ 2 et retenue de 1
(9 - 3) + 1 + 1 (de retenue) = 8
(9 - 5) + 3 = 7 
(5 - 1)  = 4
résultat de 47826

Exemple 2 : 3267 x 9 = ?

(10 - 7) = 3 
(9 - 6) + 7 = 10 ⇒ 0 et retenue de 1
(9 - 2) + 6 + 1 (de retenue) = 14 ⇒ 4 et retenue de 1
(9 - 3) + 2 + 1 (de retenue) = 9
(3 - 1) = 2
Résultat de 29403

Multiplication par 11

Règle : Recopier le dernier chiffre. Additionner 2 par 2 les chiffres voisins. Recopier le premier chiffre du multiplicande. Ajouter l'éventuelle retenue du calcul précédent.

Exemple : 3 422 x 11 = 37 642

Recopier 2.
2 + 2 = 4
4 + 2 = 6
3 + 4 = 7
Recopier 3

Exemple : 5 781 x 11 = 63 591

Recopier 1.
8 + 1 = 9
7 + 8 = 15, on retient le 5 et on ajoutera une retenue au calcul suivant
5 + 7 = 12 + 1 = 13, on retient le 3 et on ajoutera une retenue au calcul suivant
5 + 1 (retenue) = 6

Multiplication par 12

Règle : Doubler chaque chiffre avant de l'ajouter à son voisin de droite. Recopier le premier chiffre (plus éventuellement la retenue).

Exemple 1 : 314 x 12 = 3 768

4 * 2 = 8
1 * 2 + 4 = 6
3 * 2 + 1 = 7
Recopier 3

Exemple 2 : 5267 x 12 = ?

7 * 2 = 14 ⇒ 4 et retenue de 1
6 * 2 + 7 + 1 (de retenue) = 20 ⇒ 0 et 2 de retenue
2 * 2 + 6 + 2 (de retenue)= 12 ⇒ 2 et 1 de retenue
5 * 2 + 2 + 1 (de retenue) = 13 ⇒ 3 et retenue de 1 
Recopier 5 + 1 (de retenue) = 6
Résultat de 63204

Multiplication par 13

Règle : Tripler chaque chiffre avant de l'ajouter à son voisin de droite. Recopier le premier chiffre (plus éventuellement la retenue).

Exemple 1 : 321 x 13 = 4 173

1 * 3 = 3
2 * 3 + 1 = 7
3 * 3 + 2 = 11 ⇒ 1 et retenue de 1
Recopier 3 + 1 (de retenue) = 4

Exemple 2 : 1247 x 13 = ?

7 * 3 = 21 ⇒ 1 et retenue de 2
4 * 3 + 7 + 2 (de retenue) = 21 ⇒ 1 et 2 de retenue
2 * 3 + 4 + 2 (de retenue)= 12 ⇒ 2 et 1 de retenue
1 * 3 + 2 + 1 (de retenue) = 6
Recopier 1
Résultat de 16211

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