Modele OUV

Modele OUV

Modèle OUV

Finance

Modèle OUV (Ornstein, Uhlenbeck, Vasicek) est utilisé pour calculer les options sur taux.

Mathématique

Nommé après Leonard Salomon Ornstein et George Eugene Uhlenbeck et qui est aussi connu sous le nom de mean-reverting process, le processus r est un processus d'Ornstein-Uhlenbeck (OU), si son équation différentielle stochastique (EDS) est de la forme:

dr_t = -\theta (r_t-\mu)\,dt + \sigma\, dW_t,\,

où θ, μ et σ sont des paramètres déterministes et Wt suivant la loi de Wiener.

Trois exemples du processus d'OU avec θ=1, μ=1.2, σ=0.3:
Bleu: Valeur initiale a=0 (a.s.)
Vert: Valeur initiale a=2 (a.s.)
Rouge: Valeur initiale distributée normalement ainsi le procédé à une mesure invariante

Solution

Cette équation est résolue par variation de paramètres. Appliquons le lemme d'Itō à la fonction f(rt,t) = rteθt pour obtenir

df(r_t,t) = \theta r_t e^{\theta t}\, dt + e^{\theta t}\, dr_t\,
= e^{\theta t}\theta \mu \, dt + \sigma e^{\theta t}\, dW_t. \,

En intégrant de 0 à t, on obtient

r_t e^{\theta t} = r_0 + \int_0^t e^{\theta s}\theta \mu \, ds + \int_0^t \sigma e^{\theta s}\, dW_s \,

d'où nous voyons

r_t = r_0 e^{-\theta t} + \mu(1-e^{-\theta t}) + \int_0^t \sigma e^{\theta (s-t)}\, dW_s. \,

Ainsi, le premier moment (mathématique) est donné par (en supposant que r0 est une constante),

E(rt) = r0e − θt + μ(1 − e − θt).

s \wedge t = \min(s,t) On peut utiliser l'isométrie d'Itō pour calculer la covariance

\operatorname{cov}(r_s,r_t)= E[(r_s - E[r_s])(r_t - E[r_t])]
= E[\int_0^s \sigma e^{\theta (u-s)}\, dW_u \int_0^t \sigma e^{\theta (v-t)}\, dW_v ]
= \sigma^2 e^{-\theta (s+t)}E[\int_0^s e^{\theta u}\, dW_u \int_0^t e^{\theta v}\, dW_v ]
= \frac{\sigma^2}{2\theta} \, e^{-\theta (s+t)}(e^{2\theta (s \wedge t)}-1).\,

C'est aussi possible (et souvent commode) de représenter rt (sans réserve) en tant que mesure transformée du temps du processus Wiener :

r_t=\mu+{\sigma\over\sqrt{2\theta}}W(e^{2\theta t})e^{-\theta t}

ou condition (donné r0) comme

r_t=r_0 e^{-\theta t} +\mu (1-e^{-\theta t})+ {\sigma\over\sqrt{2\theta}}W(e^{2\theta t}-1)e^{-\theta t}.

Le processus d'Ornstein-Uhlenbeck (un exemple de processus Gaussien à variance liée) admet un procédé stationnaire à distribution probable, en opposition au processus de Wiener.


L'intégrale Temps du procédé peut être utilisée pour générer du bruit avec a 1/f pouvoir spectrum.

  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « Mod%C3%A8le OUV ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Modele OUV de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем написать реферат

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Modèle OUV — Finance Modèle OUV (Ornstein, Uhlenbeck, Vasicek) est utilisé pour calculer les options sur taux. Mathématique Nommé après Leonard Salomon Ornstein et George Eugene Uhlenbeck et qui est aussi connu sous le nom de mean reverting process, le… …   Wikipédia en Français

  • Modèle OUV (Ornstein, Uhlenbeck, Vasicek) — Modèle OUV Finance Modèle OUV (Ornstein, Uhlenbeck, Vasicek) est utilisé pour calculer les options sur taux. Mathématique Nommé après Leonard Salomon Ornstein et George Eugene Uhlenbeck et qui est aussi connu sous le nom de mean reverting process …   Wikipédia en Français

  • OUV — Modèle OUV Finance Modèle OUV (Ornstein, Uhlenbeck, Vasicek) est utilisé pour calculer les options sur taux. Mathématique Nommé après Leonard Salomon Ornstein et George Eugene Uhlenbeck et qui est aussi connu sous le nom de mean reverting process …   Wikipédia en Français

  • Ornstein-Uhlenbeck — Modèle OUV Finance Modèle OUV (Ornstein, Uhlenbeck, Vasicek) est utilisé pour calculer les options sur taux. Mathématique Nommé après Leonard Salomon Ornstein et George Eugene Uhlenbeck et qui est aussi connu sous le nom de mean reverting process …   Wikipédia en Français

  • Liste des articles de mathematiques — Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou probabilités et statistiques via l un des trois bandeaux suivants  …   Wikipédia en Français

  • Formule d'Ito — Lemme d Itô Le lemme d Itō, ou encore formule d Itō, est l un des principaux résultats de la théorie du calcul stochastique. Ce lemme offre un moyen de manipuler le mouvement brownien ou les solutions d équations différentielles stochastiques… …   Wikipédia en Français

  • Formule d'Itô — Lemme d Itô Le lemme d Itō, ou encore formule d Itō, est l un des principaux résultats de la théorie du calcul stochastique. Ce lemme offre un moyen de manipuler le mouvement brownien ou les solutions d équations différentielles stochastiques… …   Wikipédia en Français

  • Formule d'itô — Lemme d Itô Le lemme d Itō, ou encore formule d Itō, est l un des principaux résultats de la théorie du calcul stochastique. Ce lemme offre un moyen de manipuler le mouvement brownien ou les solutions d équations différentielles stochastiques… …   Wikipédia en Français

  • Lemme d'Ito — Lemme d Itô Le lemme d Itō, ou encore formule d Itō, est l un des principaux résultats de la théorie du calcul stochastique. Ce lemme offre un moyen de manipuler le mouvement brownien ou les solutions d équations différentielles stochastiques… …   Wikipédia en Français

  • Compagnie du chemin de fer Grand-Central de France — Pour les articles homonymes, voir Grand Central. Compagnie du chemin de fer Grand Central de France …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”