Anticoïndicateur

Anticoïndicateur

En mathématiques, un anticoïndicateur[réf. nécessaire] est un entier positif n qui ne peut pas être exprimé comme la différence entre un entier positif m et le nombre des entiers inférieurs à lui et premier avec lui. Exprimé algébriquement, m - φ(m) = n, où m est l'inconnue, et φ désigne la fonction indicatrice d'Euler, ne possède pas de solution.

Il a été conjecturé que tous les anticoïndicateurs sont pairs. Ceci découle d'une forme modifiée de la conjecture de Goldbach : si le nombre pair n peut être représenté comme une somme de deux nombres premiers distincts p et q, alors

pq - \varphi(pq) = pq - (p-1)(q-1) = p+q-1 = n-1~.

Il a été espéré que chaque nombre pair plus grand que 6 soit une somme de nombres premiers distincts, alors aucun nombre impair plus grand que 5 n'est probablement un anticoïndicateur. Les nombres pairs restants sont couverts par les observations suivantes : 1 = 2 - φ(2), 3 = 9 - φ(9) et 5 = 25 - φ(25).

La suite des anticoïndicateurs (suite A005278 de l’OEIS) commence par : 10, 26, 34, 50, 52.

Paul Erdős et Wacław Sierpiński se sont demandé s'il existe une infinité d'anticoïndicateurs. Ceci fut finalement résolu par l'affirmative par Jerzy Browkin (en) et Andrzej Schinzel (1995), qui ont montré que tout entier de la forme 2k.509203 est un anticoïndicateur. Depuis, Flammenkamp et Luca ont trouvé d'autres suites infinies[réf. nécessaire], analogues, d'anticoïndicateurs.

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