Matrice hamiltonienne

Matrice hamiltonienne

En mathématiques, une matrice hamiltonienne (ou de Hamilton) A est une matrice réelle 2n×2n satisfaisant la condition que le produit KA soit symétrique, K étant la matrice antisymétrique :

K=
\begin{bmatrix}
0 & I_n \\
-I_n & 0 \\
\end{bmatrix}

et In étant la matrice identité n×n. En d'autres termes, A est hamiltonienne si et seulement si :

KA - A^T K^T = KA + A^T K = 0.\,

Dans l'espace vectoriel des matrices 2n×2n, les matrices hamiltoniennes forment un sous-espace vectoriel de dimension 2n2 + n.

Sommaire

Propriétés

  • Soit M une matrice par bloc 2n×2n donnée par :
    M = \begin{pmatrix}A & B \\ C & D\end{pmatrix}
    A,B,C,D sont des matrices n×n. Alors M est une matrice hamiltonienne à condition que B,C soient symétriques et que A + DT = 0.
  • La transposée d'une matrice hamiltonienne est hamiltonienne.
  • La trace d'une matrice hamiltonienne est nulle.
  • Le commutateur de deux matrices hamiltoniennes est hamiltonien.
  • Les valeurs propres de M sont symétriques par rapport à l'axe imaginaire.

L'espace des matrices hamiltoniennes est une algèbre de Lie {\mathfrak{Sp}}(2n)[1].

Opérateurs hamiltoniens

Soit V un espace vectoriel, doté d'une forme symplectique Ω. Une application linéaire A:\; V \mapsto V est appelée opérateur hamiltonien par rapport à Ω si l'application x, y \mapsto \Omega(A(x), y) est symétrique. De manière équivalente, elle doit satisfaire :

Ω(A(x),y) = − Ω(x,A(y))

Soit une base e1,...e2n de V telle que Ω soit écrite \sum_i e_i \wedge e_{n+i}. un opérateur linéaire est hamiltonien par rapport à Ω si et seulement si sa matrice dans cette base est hamiltonienne[2]. Cette définition implique que le carré d'une matrice hamiltonienne est anti-hamiltonien. L'exponentiel d'une matrice hamiltonienne est symplectique, et le logarithme d'une matrice symplectique est hamiltonien.

Voir aussi

Références

  1. (en) Alex J. Dragt, The Symplectic Group and Classical Mechanics'' Annals of the New York Academy of Sciences (2005) 1045 (1), 291-307.
  2. (en) William C. Waterhouse, The structure of alternating-Hamiltonian matrices, Linear Algebra and its Applications, Volume 396, 1er février 2005, Pages 385-390



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