Machine synchrone

Machine triphasée

Une machine synchrone est une machine électrique :

soit produisant un courant électrique dont la fréquence est déterminée par la vitesse de rotation de la machine : fonctionnement « générateur » (alternateur) ;
soit absorbant un courant électrique dont la fréquence détermine la vitesse de rotation de la machine : fonctionnement « moteur ».

Au-delà de quelques kilowatts, les machines synchrones sont généralement des machines triphasées. Le rotor, souvent appelé « roue polaire », est alimenté par une source continue.

Principes généraux

La machine synchrone se compose d'une partie mobile, celle qui tourne, appelée rotor ; et d'une partie fixe appelée stator. Le rotor se compose d'aimants permanents, ou d'électro-aimants (bobinages alimentés par un courant continu).

Pour produire du courant, on utilise une force extérieure pour faire tourner le rotor : son champ magnétique, en tournant, induit un courant électrique dans les bobines du stator. La vitesse de ce champ tournant est appelée « vitesse de synchronisme ».

Si l'on ne fait pas tourner le rotor par une force extérieure, celui ci tournera seul : son champ magnétique s'alignera tour à tour sur chacune des trois bobines du stator. De décalage en décalage, cela provoquera la rotation du rotor. La fréquence de rotation (sa vitesse) est proportionnelle à la fréquence de l'alimentation électrique.

Machine synchrone triphasée

Mise en équation

Méthode utilisée

Notations

Toutes les grandeurs statoriques sont repérées soit par l'indice _S soit par des indices en majuscules.
Toutes les grandeurs rotoriques sont repérées soit par l'indice _r soit par des indices en minuscules.

L'angle $\theta (t) = \Omega_m .t \,$ correspond au décalage angulaire entre le stator et le rotor.

$L_S ; L_r \,$ : Inductances propres d'un enroulement du stator ; d'un enroulement du rotor.
$M_S \,$ : Inductance mutuelle entre deux enroulements du stator.
$M_{rS} \,$ : Valeur maximale de l'inductance mutuelle entre l'enroulement du rotor et un du stator (correspondant à une position pour laquelle θ = 0 ± 2π/3 ).

Hypothèse

La mise en équation n'est opérable que pour une machine à pôles lisses et dont le circuit magnétique est non saturé. Pour les autres machines, on apportera des correctifs permettant (avec plus ou moins d'exactitude) la prise en compte de leurs complexités.

Pour la suite on considère une machine pour laquelle :

Son circuit magnétique est homogène (entrefer constant) et non saturé. De ce fait, les diverses inductances sont constantes (entrefer constant).
Les courants des trois phases statoriques ont la même valeur efficace I_S (la machine est assimilable à un récepteur triphasé parfaitement équilibré).
Elle possède une seule paire de pôles (machine bipolaire). Les machines multipolaires se ramènent à une machine bipolaire au prix d'une transformation angulaire.

Les courants

Au stator

On fixe l'origine des temps de manière à pouvoir écrire :

$i_A (t) = I_S \sqrt{2} \cdot \cos \alpha_S \,$

On en déduit les courants des deux autres phases du stator :

$i_B (t) = I_S \sqrt{2} \cdot \cos \left(\alpha_S - \frac{2 \pi}{3}\right) \,$

$i_C (t) = I_S \sqrt{2} \cdot \cos \left(\alpha_S + \frac{2 \pi}{3}\right) \,$

Avec : $\alpha_S = \omega_S \cdot t \,$ , et $\omega_S \,$ : pulsation des courants statoriques

Au rotor

Au rotor, il n'y a que le courant continu I_r alimentant la bobine du rotor par l'intermédiaire d'un contact glissant sur une bague collectrice.

Remarque

Si le rotor est constitué d'un aimant, on considèrera une bobine produisant un moment magnétique équivalent, c’est-à-dire traversée par un courant I_r que l'on determine à l'aide de la méthode d'Hopkinson (application du théorème d'Ampère à un circuit magnétique).

C’est-à-dire :

$L_a \,$ la longueur de l'aimant

$S_a ; S_b \,$ respectivement la section moyenne de l'aimant et celle de la bobine

On pose :

$\mathcal{M}_b = \mathcal{M}_a \,$

$NI_r .S_b= H.L_a.S_a \,$

En supposant que la bobine et l'aimant ont la même section, on obtient :

$NI_r = \frac{B_r.L_a}{\mu_0} \,$

Les flux

Flux à travers un enroulement statorique

$\Phi_A = L_S i_A + M_S i_B + M_S i_C + M_{rS} \cos \theta \cdot I_r ,$

Comme :

$i_A + i_B + i_C = 0 \,$ , alors $M_S i_B +M_S i_C = - M_S i_A \,$ ,

$\Phi_A = (L_S - M_S) i_A + M_{rS} \cos \theta \cdot I_r ,$

On pose

$(L_S - M_S) = \mathcal{L}_S \,$ : inductance cyclique

L'expression du flux devient alors

$\Phi_A = \mathcal{L}_S i_A + M_{rS} \cos \theta I_r \,$

l'expression du nombre complexe représentant le flux est

$\underline \Phi_A = \mathcal{L}_S \underline i_A + M_{rS} \underline I_r \,$

avec $\underline I_r \,$ la représentation complexe d'un courant sinusoïdal « fictif » de valeur maximale $I_r \,$ et de pulsation $\theta = \omega t \,$ .

En toute rigueur, cette substitution n'est valable qu'en régime établi : aucune modification de la charge ou de l'alimentation. C'est une condition nécessaire pour affirmer que la fréquence de rotation est exactement égale à la fréquence de l'alimentation.

Flux à travers un enroulement rotorique

Le flux traversant le rotor est le résultat de deux champ magnétiques :

Le champ tournant, créé par les enroulements statoriques ;
Le champ propre, créé par l'enroulement rotorique qui est constant (courant continu) mais qui tourne mécaniquement à la même vitesse que le précédent (machine synchrone). Avec la même limite qu'au paragraphe précédent : aucune modification de la charge ou de l'alimentation.

Les tensions

Tension aux bornes d'une phase du stator

$\ V_A = R_S . I_A + \frac{d\Phi_A}{dt} \,$

$\underline V_A = (R_S + j \omega_S \mathcal{L}_S) \underline I_A + j \omega_S \mathcal{M}_{rS} \underline I_r \,$

On pose $E a v$ la tension à vide, c’est-à-dire la tension lorsque $\underline I_A = 0$ (tension créée par le seul champ rotorique)

$\underline V_A = (R_S + j \omega_S \mathcal{L}_S) \underline I_A + \underline E_{av} \,$

Modélisation

Il existe plusieurs modèles équivalents de la machine synchrone suivant le nombre de paramètres dont on veut tenir compte.

Le modèle équivalent de Behn-Eschenburg

Le modèle de Behn Eschenburg ne s'applique que si la machine est non saturée et à pôles lisses. C'est le plus simple, il ne tient compte d'aucune saturation ni variation de l'entrefer. Il consiste à remplacer chaque phase de la machine par un ensemble de trois dipôles en série tels que la tension aux bornes de ce dipôle est égale à :

$\underline E_{av} = (R_S + j \omega_S \mathcal{L}_S) \underline I_A + \underline V_A = (R_S + j X_S) \underline I_A + \underline V_A \,$

avec :

$R_S \,$ et $X_S \,$ constants et indépendants du fonctionnement de la machine.

$\underline E_{av} = k \omega I_r \,$ uniquement proportionnelle à la fréquence de rotation et au courant d'excitation (courant rotorique).

Ce modèle convient bien aux gros turboalternateurs de forte puissance. On peut encore simplifier le modèle (et les calculs qui en découlent) en négligeant $R_S \,$ devant $X_S \,$ .

Le modèle équivalent de Potier

Ce modèle est plus complet que celui de Behn-Eschenburg. Il tient compte de la saturation en faisant varier le courant d'excitation en fonction du courant traversant les bobines du stator. Cette modification du courant excitateur fait varier la fcem.

Dans ce modèle on a :

$i_r = i_{rv} - \alpha.I \,$

$E = V + R.I + j.\omega.\lambda.I \,$

Détermination des paramètres du modèle de Potier

Triangle de Potier

Le modèle de Blondel à deux réluctances

Il permet de prendre en compte les variations angulaires de réluctance des machines synchrones à pôles saillants.

Notes et références

Annexes

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