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Longue droite
La longue droite est un espace topologique analogue à la droite réelle, « en beaucoup plus long ».
Définition
En tant qu'ensemble ordonné, la longue droite, L, est le produit du premier ordinal non dénombrable ω1 et de l'ensemble des réels positifs ou nuls, l'ordre sur le produit étant l'ordre lexicographique (donnant le plus de poids à l'élément de ω1).
En tant qu'espace topologique, c'est cet ensemble ordonné muni de la topologie de l'ordre (les intervalles ouverts forment une base de la topologie). Cet espace topologique est une variété topologique à bord non séparable. Mieux, on peut la munir d'une structure de variété différentiable lisse (i.e. de classe
), et même analytique réelle (ω).Des variantes de la définition consistent à retirer l'origine, ou à prolonger la droite indéfiniment vers la gauche de la même façon que vers la droite. Le terme de « longue droite » peut, selon les auteurs, désigner un quelconque de ces trois espaces. Nous adoptons ici la convention qu'il y a un bord à gauche.
Propriétés
Pour tout x dans L (la longue droite en question), l'intervalle fermé [0;x] est homéomorphe à l'intervalle réel [0;1]. Pourtant, L a des propriétés exceptionnelles. Par exemple :
- Toute suite croissante à valeurs dans L a une limite (cela découle presque immédiatement de la propriété correspondante pour ω1, puisque la réunion d'une famille dénombrable d'ordinaux dénombrables est encore dénombrable). En particulier, toute suite à valeurs dans L admet une valeur d'adhérence (et, si elle n'en admet qu'une, converge vers cette valeur) ; car toute suite à valeurs dans L est bornée. Il s'ensuit que toute fonction continue de
vers L est bornée. - De façon peut-être plus surprenante, toute fonction continue de L vers est bornée. En effet, si
était continue non bornée, on trouverait x0 dans L tel que f(x0) > 0, puis x1 dans L tel que f(x1) > 1 et x1 > x0, puis x2 > x1 tel que f(x2) > 2, et ainsi de suite. Soit x la limite de la suite 
; en appliquant la continuité de f en x, on arriverait à une contradiction. En raffinant ce raisonnement, on obtient en fait bien mieux : toute fonction continue de L vers est constante à partir d'un certain point. - Le compactifié de Stone-Cech de L s'obtient en rajoutant un seul point à L, à l'infini à droite. C'est donc aussi son compactifié d'Alexandroff.
- Toute application continue injective (donc strictement croissante) de L dans L est non bornée. De plus, une telle application a des points fixes arbitrairement grands (donc une infinité non dénombrable de points fixes).
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Catégorie : Variété remarquable - Toute suite croissante à valeurs dans L a une limite (cela découle presque immédiatement de la propriété correspondante pour ω1, puisque la réunion d'une famille dénombrable d'ordinaux dénombrables est encore dénombrable). En particulier, toute suite à valeurs dans L admet une valeur d'adhérence (et, si elle n'en admet qu'une, converge vers cette valeur) ; car toute suite à valeurs dans L est bornée. Il s'ensuit que toute fonction continue de
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