Loi du déplacement de Wien

Loi du déplacement de Wien
Graphique représentant l'évolution de la densité spectrale d'énergie émise par un corps noir en fonction de la longueur d'onde pour plusieurs températures. On y voit que plus la température est élevée plus le maximum de la courbe se situe à une longueur d'onde faible : la loi de déplacement de Wien permet de rendre compte de cette observation.

En physique, la loi du déplacement de Wien est nommée d'après son découvreur Wilhelm Wien. Elle stipule que la longueur d'onde à laquelle un corps noir émet le plus de flux lumineux énergétique est inversement proportionnelle à sa température. La loi de Wien se déduit de la loi de Planck du rayonnement du corps noir.

La loi de Planck décrit la distribution de l'énergie W(λ) rayonnée en fonction de la température T du corps noir. Selon la loi de Planck, à une température T donnée, l'énergie W(λ) passe par un maximum Wmax pour une longueur d'onde λmax.

La loi de Wien décrit la relation liant la longueur d'onde λmax, correspondant au pic d'émission lumineuse du corps noir, et la température T (exprimée en kelvin). On retient généralement, en exprimant la longueur d'onde en mètre et la température en kelvin :

\lambda_{\mathrm{max}} = \frac{\mathrm{h}\mathrm{c}}{4,965\,1\cdot \mathrm{k}\mathrm{T}} = \frac{2,898 \cdot 10^{-3}}{\mathrm{T}}

ou h est la constante de Planck, k est la constante de Boltzmann, et c est la vitesse de la lumière.

Est alors ainsi définie, la constante de Wien, notée b ou σw :

\sigma_{w} = 2,898 \cdot 10^{-3}\; \mathrm{m.K}

Démonstration

La loi de Wien dans sa version corrigée par Planck :

\qquad M_\lambda = \frac{2hc^2}{\lambda^5}\frac{1}{\exp \left(\frac{hc}{k\lambda T}\right)-1}

permet de déterminer la longueur d'onde pour laquelle la luminance énergétique spectrale est maximale. En dérivant son expression après avoir posé x = \frac{hc}{k\lambda T} et en cherchant les valeurs de x qui annulent cette dérivée, on obtient l'équation :

e − x + 0,2x − 1 = 0,

dont la seule solution positive est x = 4,965\,1. Ainsi :

\lambda_{m} = \frac{hc}{4,965\,1 \mathrm{kT}}

Quelques conséquences

Il découle de cette loi que plus un objet est chaud, plus la longueur d'onde maximum du rayonnement qu'il émet est courte.

Par exemple, la température de surface du Soleil est 5780 K, ce qui correspond à un maximum d'émission vers 500 nm, au milieu du spectre visible (du violet au rouge). Cette lumière nous apparaît comme jaune après diffusion dans l'atmosphère (le Soleil est perçu comme blanc dans l'espace car la quantité de lumière émise par le Soleil dans tout le domaine visible est suffisante pour qu'il paraisse blanc à l'observateur). Les étoiles plus chaudes émettent à des longueurs d'onde plus courtes et apparaissent bleutées ; les étoiles plus froides nous semblent rougeâtres.

Dans des conditions typiques, notre environnement a une température d'environ 300 K et émet ainsi dans l'infrarouge moyen, aux alentours 10 µm. Cela a de multiples conséquences, par exemple :

  • la plupart des caméras à vision nocturne fonctionnent sur le principe de la détection de ce rayonnement thermique;
  • la difficulté pour les astronomes à observer dans l'infrarouge moyen car le rayonnement ambiant se mêle au signal provenant de l'objet étudié.

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