Loi de Tukey-Lambda

Loi de Tukey-Lambda

Différents paramétrages

La Loi de Tukey-Lambda est connue de façon implicite par la distribution de ses quantiles[1]:

G(p) \equiv F^{-1}(p) = \begin{cases} \left[p^\lambda - (1 - p)^\lambda\right]/\lambda, & \mbox{si } \lambda \ne 0 \\ \log(p) - \log(1-p), & \mbox{si } \lambda = 0 \end{cases}

Le paramètre λ est un Paramètre de forme, comme le résume le tableau suivant.

λ = −1 approximativement une Loi de Cauchy
λ = 0 exactement une Loi logistique
λ = 0.14 approximativement une Loi normale
λ = 0.5 strictement concave
λ = 1 exactement une Loi uniforme continue sur ]-1;1[

La densité et la fonction de répartition de cette loi ne sont pas disponibles et doivent être approchés numériquement. Cette loi a par la suite été généralisée.

Lois de Tukey-Lambda généralisées

  • La version de Ramberg et Schmeiser[2]

G(p)= \lambda_1 + {p^{\lambda_3} - (1-p)^{\lambda_4}\over \lambda_2}

  • La version de Freimer, Mudholkar, Kollia et Lin[3]

G(p)= \lambda_1 + { { \frac{p^{\lambda_3}}{\lambda_3} - \frac{(1-p)^{\lambda_4}}{\lambda_4} } \over \lambda_2 }


Références

  1. ↑ Hastings, C and Mosteller, F and Tukey J W and Winsor, C P. Low moments for small samples: a comparative study of order statistics, Ann. Math. Statist. 18,413-426 ; 1947
  2. ↑ Ramberg, John S. and Schmeiser, Bruce W., An approximate method for generating symmetric random variables, Communications of the ACM, Volume 15, Issue 11 (November 1972) Pages: 987 - 990, Year of Publication: 1972
  3. ↑ Freimer, M and Mudholkar, GS and Kollia, G and Lin GT, A study of the generalized tukey lambda family, Communications in Statistics-Theory and Methods, 1988
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