- Logit
-
Représentation graphique de la fonction Logit
La fonction Logit est une fonction mathématique utilisée principalement en statistiques et pour la régression logistique. Son expression est
où p est défini sur ]0 ; 1[
La base du logarithme utilisé est sans importance tant que celle-ci est supérieure à 1. Il s'agit en général du logarithme népérien mais on peut trouver aussi le logarithme décimal.
Utilisée avec le logarithme népérien, la fonction Logit est la réciproque de la sigmoïde :
.
Elle est donc utilisée pour linéariser les fonctions logistiques.
Motivation
Si p est une probabilité, cette probabilité sera toujours comprise entre 0 et 1 et toute tentative pour ajuster un nuage de probabilité par une droite sera invalidée par le fait que la droite n'est pas bornée. la transformation de p en p/(1-p) permet de travailler sur des valeurs variant de 0 à + ∞, puis le passage au logarithme permet de travailler sur un nuage de points dont les valeurs varient entre - ∞ et + ∞. C'est sous cette forme que l'on peut tenter un ajustement du nuage de points.
Fragments d'histoire
La fonction Logit (prononcer logue ite) a été introduite par Joseph Berkson (1899 - 1982) en 1944, qui est l'auteur du terme. Ce terme a été construit par analogie et en opposition au terme de probit, notion développée par Chester Ittner Bliss et John Gaddum (1900 - 1965) en 1934. Une distribution de fréquences en forme de S laisse penser, soit à une fonction de répartition d'une loi normale, soit à une courbe logistique. Jusqu'en 1944, le modèle de la loi normale était privilégié et la fonction pour en déterminer les paramètres était la fonction Probit. Pendant plusieurs années, Berkson tente de convaincre la communauté scientifique que le modèle Logit est tout aussi légitime que le modèle Probit mais sa virulence d'une part et la légitimité reconnue de la loi normale d'autre part sont des freins puissants à cette reconnaissance. Il faut le développement parallèle des statistiques et de la biométrie pour que le modèle Logit soit reconnu (1960). Actuellement, il est principalement employé dans la régression logistique[1].
Références
- (en) J.S. Cramer The origins and development of the logit model, sur le site de l'université de Cambridge
Portail des probabilités et des statistiques
Catégories :- Fonction remarquable
- Statistiques
Wikimedia Foundation. 2010.
