Lemme de Schwarz

Lemme de Schwarz

Le lemme de Schwarz est un lemme d'analyse complexe.

Lemme — Soit f une fonction holomorphe dans le disque ouvert D de centre 0 et de rayon 1, et telle que :

  • f(0) = 0~
  • \forall z \in D, ~ |f(z)| \leqslant 1

Alors on a :

\qquad |f(z)| \leqslant |z| pour tout z appartenant à D et \qquad |f'(0)| \leqslant 1 .

Si, de plus, il existe un élément non nul z0 de D vérifiant | f(z0) | = | z0 | , ou bien si | f'(0) | = 1, alors il existe un nombre complexe a de module 1 tel que f(z) = az pour tout z appartenant à D.

Le lemme de Schwarz est utilisé notamment pour déterminer les automorphismes du disque D dans lui-même.


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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Lemme de Schwarz de Wikipédia en français (auteurs)

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