Lemme de Hensel

Lemme de Hensel

En mathématiques, le lemme de Hensel, qui doit son nom au mathématicien du début du XXe siècle Kurt Hensel, peut être vu comme un analogue de la méthode de Newton dans les anneaux de valuation discrète complets, c'est-à-dire qu'il permet de donner des approximations des racines des polynômes. L'exemple typique est celui de l'anneau des polynômes à coefficients dans \mathbb{Z}_p, l'anneau des entiers p-adiques, pour p un nombre premier.

Énoncés

On considère un polynôme P à coefficients dans \scriptstyle\Z_p.

Lemme de Hensel version 1.

S'il existe \alpha_0 \in\Z_p tel que :

(i) P(\alpha_0) \equiv 0 \pmod p,

(ii) P'(\alpha_0) \not \equiv 0 \pmod p,

alors, il existe \alpha \in\Z_p tel que P(α) = 0 et \alpha \equiv \alpha_0 \pmod p.

Lemme de Hensel version 2.

S'il existe \alpha_0 \in\Z_p tel que, pour un certain entier N, on ait :

(i) P'(\alpha_0) \equiv 0 \pmod {p^N},

(ii) P'(\alpha_0) \not \equiv 0 \pmod {p^{N+1}},

(iii) P(\alpha_0) \equiv 0 \pmod {p^{2N+1}},

alors, il existe \alpha \in\Z_p tel que P(α) = 0 et \alpha \equiv \alpha_0 \pmod {p^{N+1}}.


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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Lemme de Hensel de Wikipédia en français (auteurs)

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