Lemme de Hensel

En mathématiques, le lemme de Hensel, qui doit son nom au mathématicien du début du XX^e siècle Kurt Hensel, peut être vu comme un analogue de la méthode de Newton dans les anneaux de valuation discrète complets, c'est-à-dire qu'il permet de donner des approximations des racines des polynômes. L'exemple typique est celui de l'anneau des polynômes à coefficients dans $\mathbb{Z}_p$ , l'anneau des entiers p-adiques, pour p un nombre premier.

Énoncés

On considère un polynôme $P$ à coefficients dans $\scriptstyle\Z_p$ .

Lemme de Hensel version 1.

S'il existe $\alpha_0 \in\Z_p$ tel que :

(i) $P(\alpha_0) \equiv 0 \pmod p$ ,

(ii) $P'(\alpha_0) \not \equiv 0 \pmod p$ ,

alors, il existe $\alpha \in\Z_p$ tel que $P (α) = 0$ et $\alpha \equiv \alpha_0 \pmod p$ .

Lemme de Hensel version 2.

S'il existe $\alpha_0 \in\Z_p$ tel que, pour un certain entier $N$ , on ait :

(i) $P'(\alpha_0) \equiv 0 \pmod {p^N}$ ,

(ii) $P'(\alpha_0) \not \equiv 0 \pmod {p^{N+1}}$ ,

(iii) $P(\alpha_0) \equiv 0 \pmod {p^{2N+1}}$ ,

alors, il existe $\alpha \in\Z_p$ tel que $P (α) = 0$ et $\alpha \equiv \alpha_0 \pmod {p^{N+1}}$ .

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