- Lemme d'orthonormation
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Procédé de Gram-Schmidt
En algèbre linéaire, dans un espace vectoriel muni d'un produit scalaire, le procédé de Gram-Schmidt[1], en notant ou est un algorithme pour construire de proche en proche une base orthonormée à partir d'une base donnée.
Précisément :
Théorème — Si est une famille libre d'un espace préhilbertien, il existe une et une seule famille orthonormée telle que :
- pour tout
- le produit scalaire est strictement positif
On oublie souvent la condition d'unicité. Elle permet de parler de l 'orthonormalisée de Gram-Schmidt.
L'étape générale de l'algorithme consiste à soustraire au vecteur vj + 1 sa projection orthogonale sur l'espace Fj. On s'appuie sur la famille orthonormale déjà construite pour le calcul de projection.
Cette méthode a été nommée en hommage à Jørgen Pedersen Gram et Erhard Schmidt, mais elle est plus ancienne et est retrouvée dans des travaux de Laplace et Cauchy.
Applications.
- Le procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt donne (constructivement !) l'existence de bases orthonormées pour tout espace euclidien ou hermitien.
- On peut aussi orthonormaliser la base canonique (1,X,...)de R[X] et obtenir ainsi une famille de polynômes orthogonaux.
Procédé de Gram-Schmidt
Nous définissons l'opérateur de projection sur une droite vectorielle par :
Le procédé de Gram-Schmidt est alors :
Notes et références
- ↑ Mathématiques Tout-en-un . 2e année MP, Dunod, 2004, 2e éd. (ISBN 2-10-007576-4), p. 569
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