Produit scalaire hermitien

Produit scalaire hermitien

Hermitien

Plusieurs entités mathématiques sont qualifiées d'hermitiennes en référence au mathématicien Charles Hermite.

Sommaire

Espace hermitien

On appelle espace hermitien tout espace vectoriel E complexe de dimension finie muni d'un produit scalaire hermitien.

Produit scalaire hermitien

Article détaillé : Produit scalaire.

On dit qu'une forme définie sur un espace vectoriel complexe E est sesquilinéaire si (notant X, Y, Z des vecteurs, et a, b des scalaires, c'est-à-dire des nombres complexes) :

  • Elle est semi-linéaire par rapport à la première variable

\ f(aX+Y,Z)=\overline{a}f(X,Z)+f(Y,Z), et

  • Elle est linéaire par rapport à la deuxième variable

\ f(X,bY+Z)=bf(X,Y)+f(X,Z).

  • Une telle forme est dite hermitienne si de plus f(X,Y)=\overline{f(Y,X)}.
  • Elle est dite hermitienne définie positive si f(X,X)>0\, pour tout vecteur X\,\not=0\,.

Un produit scalaire hermitien est une forme hermitienne définie positive.

Les deux exemples de base sont \mathbb{C}^n\,, avec

f(U,V)=\sum_{i=1}^n\overline{u_i}{v_i}

et L^2(I)\, pour un intervalle I\subset\R\,, avec

f(g,h)=\int_I\overline{g(t)}h(t)dt

(On considère des fonctions à valeurs complexes.)

En théorie des séries de Fourier, il est plus commode de travailler avec les e^{inx}\, qu'avec les sinus et les cosinus, ce qui explique l'intervention de cette notion dans la décomposition spectrale de Fourier.

Les deux propriétés de base du produit scalaire réel subsistent :

Opérateur hermitien

Un opérateur u de l'espace hermitien E est dit hermitien si :

\forall x \in E, \forall y \in E, (u(x)|y) = (x|u(y))

Les opérateurs hermitiens jouent un rôle important en mécanique quantique, car ils représentent les grandeurs physiques. Les valeurs propres (réelles) représentent les valeurs possibles de la grandeur et les fonctions propres (ou vecteurs) les états associés.

Dans une base orthonormale, la matrice d'un tel opérateur est égale à la transposée de son conjugué (auto-adjoint). Notons : A^{\dagger} = {}^t(A)^*. Alors si A = A^{\dagger}, A est la matrice d'un opérateur hermitien.

Matrice hermitienne

Une matrice hermitienne (ou auto-adjointe) est une matrice carrée avec des éléments complexes qui vérifie la propriété suivante :

  • la matrice est égale à la matrice transconjuguée.
    En d'autres termes, a_{i,j} = (\overline{a_{j,i}})^T

Par exemple, A=\begin{pmatrix}3&i&-5i\\-i&-2&5\\ 5i&5&10\end{pmatrix} est une matrice hermitienne: \overline{A}=\begin{pmatrix}3&-i&5i\\i&-2&5\\ -5i&5&10\end{pmatrix} et (\overline{A})^T=\begin{pmatrix}3&i&-5i\\-i&-2&5\\ 5i&5&10\end{pmatrix}=A

En particulier, une matrice à éléments réels est hermitienne si et seulement si elle est symétrique.

Une matrice hermitienne est orthogonalement diagonalisable et toutes ses valeurs propres sont réelles ; ses sous-espaces propres sont 2 à 2 orthogonaux.

Polynômes orthogonaux d'Hermite

Les polynômes d'Hermite interviennent dans la théorie de l'approximation uniforme des fonctions. En physique, on les retrouve dans la résolution de l'équation de la chaleur, mais aussi en mécanique quantique où ils donnent les fonctions d'ondes de l'oscillateur harmonique.

La suite des polynômes d'Hermite, notés Hn, est orthogonale pour le produit scalaire défini par :

<\! f,g\! >\, = \int_{-\infty}^{+\infty} {f(x)\,g(x)\,\mathrm{e}^{-x^2}}{dx} .

Ces polynômes sont définis de telle manière que Hn soit de degré n, le premier d'entre eux étant H0 = 1.

Cette suite satisfait les relations suivantes :

  • H^{}_{n+1}(x)-2x\,H_n(x)+2n\,H_{n-1}(x)=0
  • H^{'}_n(x)=2n\,H_{n-1}(x)
  • H_n^{''} - 2x\,H_n^{'} + 2n\,H_n = 0
  • H_n(x)=(-1)^{n}\mathrm{e}^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}\left(\mathrm{e}^{-x^2}\right)

Constantes d'Hermite

L'empilement de n-hypersphères (jusqu'à n=8) le plus dense, en dimension n, donne des structures se rapprochant des n-simplexes (c'est-à-dire triangle, tétraèdre, etc... mais aussi hexagone ou cuboctaèdre). Ces n-simplexes peuvent être entre autres caractérisés par un n-hypervolume ou des nombres: ainsi, les nombres triangulaires sont de la forme a(a + 1) / 2, les nombres tétraédriques: a(a + 1)(a + 2) / 6, etc... la limite du rapport "nombre" sur l'hypervolume, pour "a" tendant vers

+\infty, élevée à la puissance 2/n, donne les constantes d'Hermite. Cette définition n'est cependant pas rigoureuse.

D'autres informations sur [1]

Articles de mathématiques en rapport avec l'algèbre bilinéaire
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