Espace préhilbertien

Espace préhilbertien

En mathématiques, un espace préhilbertien est défini comme un espace vectoriel réel ou complexe muni d'un produit scalaire. Cette notion généralise celles d'espace euclidien ou hermitien, en omettant l'hypothèse de la dimension finie.

Sommaire

Motivations

Le cas général d'un espace préhilbertien en dimension infinie diffère à bien des égards de la dimension finie. L'espace dual n'est plus nécessairement isomorphe à l'espace, l'orthogonal d'un sous-espace vectoriel n'est plus nécessairement un supplémentaire de ce sous-espace, l'orthogonal de l'orthogonal d'un sous-espace ne redonne pas nécessairement ce sous-espace. Par ailleurs, les applications linéaires ne sont plus nécessairement continues. Les techniques d'analyse de l'espace sont en conséquence un peu différentes. Les cas de dimension finie sont traités dans les articles Espace euclidien et Espace hermitien. Le cas général est l'objet essentiel de cet article.

Une application importante est l'étude des espaces de fonctions à l'aide des outils de l'algèbre linéaire et bilinéaire. Le produit scalaire est donné par l'intégrale du produit de deux fonctions, ou plus précisément d'une fonction et du conjugué de l'autre pour conserver le caractère [[sesquilinéaire. A la différence du cas de la dimension finie, le produit scalaire n'est plus toujours défini, au sens où l'image du couple (x,x) peut être nulle même si x est un vecteur non nul. Une intégrale ne dépend en effet pas des valeurs de la fonction sur un ensemble de mesure nulle. Le terme utilisé est semi-produit scalaire. Une précision est généralement donnée : l'espace est séparable, c'est-à-dire qu'il existe une famille de vecteurs dénombrable et dense dans l'espace. Cette configuration correspond à nombre d'espaces fonctionnels.

Un outil permet de pallier la difficulté induite par la dimension infinie, la topologie. Le produit scalaire définit une norme, par voie de conséquence une distance et une topologie. Si le caractère spécifique que confère le produit scalaire à l'espace métrique permet la démonstration de nombreux résultats, une propriété fait néanmoins défaut. Le préfixe « pré- » apparaissant dans le mot « préhilbertien » fait référence à l'absence d'une hypothèse particulière : la complétude, qui se révèle indispensable pour de nombreux résultats. Lorsque cette hypothèse est vérifiée, l'espace porte le nom d'espace hilbertien ou d'espace de Hilbert.

De nombreux espaces fonctionnels naturels ne sont pas complets, par exemple l'espace des fonctions continues à support compact. Il existe une manière simple de compléter un préhilbertien, à l'aide de son dual. Une démarche fréquente consiste à enrichir l'espace préhilbertien pour disposer de résultats puissants.

Définitions et premiers résultats

Dans la suite de l'article, la lettre K désigne le corps des réels ou des complexes, E un espace vectoriel sur K et Ω un ouvert d'un espace euclidien ou hermitien.

Définitions

L'objet central d'un espace préhilbertien est ce qu'on appelle en général produit scalaire. Il peut s'agir d'un produit scalaire réel lorsqu'on considère des espaces vectoriels dont le corps de base est le corps des nombres réels ou de produit scalaire hermitien dans le cas où ce corps est celui des nombres complexes.

Un espace préhilbertien (E,\langle\cdot,\cdot\rangle) est alors un espace vectoriel E muni d'un produit scalaire \langle\cdot,\cdot\rangle.

Dans certains cas, il se peut qu'on ait à considérer des formes bilinéaires symétriques ou [[sesquilinéaires positives non définies. On parle alors de semi-produit scalaire et d'espace préhilbertien non séparé[réf. nécessaire].

On dira par abus de notation que E est un espace préhilbertien si on le considère muni d'un produit scalaire \langle\cdot,\cdot\rangle, faisant alors du couple (E,\langle\cdot,\cdot\rangle) un espace préhilbertien.

Selon les ouvrages et auteurs on peut trouver d'autres notations pour le produit scalaire telles que \langle\cdot|\cdot\rangle et (\cdot|\cdot).

Le concept de base, souvent essentiel en algèbre linéaire, est délicat à manier hors de la dimension finie. Si le lemme de Zorn montre l'existence d'une base, il n'existe pas de méthode explicite pour construire une telle famille à l'aide de ce théorème d'existence. Une nouvelle définition contourne cette difficulté. Une base hilbertienne, ou base de Hilbert est une famille libre de vecteurs de E telle que l'adhérence de l'espace vectoriel engendré est égal à E et que tous les vecteurs soient de norme égale à un et orthogonaux deux à deux.

Le terme de base orthogonale utilisée dans le contexte de l'article prend le sens de base hilbertienne[1].

Propriétés élémentaires

Certaines propriétés ne font pas appel au caractère fini de la dimension de l'espace :

Ces résultats restent vrais pour les formes hermitiennes positives.

Une norme N qui vérifie l'identité du parallélogramme dérive d'un produit scalaire. C'est-à-dire que si

\|x+y\|^2 + \|x-y\|^2 = 2\|x\|^2 + 2 \|y\|^2

l'application φ, définie de la manière suivante, est une forme hermitienne à droite et un produit scalaire, dont la forme quadratique associée est égale au carré de la norme. Cette égalité porte le nom d'identité de polarisation.

\forall x,y \in E \quad \varphi(x,y)=\frac14\Big(\|x+y\|^2 - \|x-y\|^2 + i\|x+iy\|^2 - i\|x-iy\|^2\Big)\quad \text{et} \quad \sqrt{\varphi(x,x)}=\|x\|

Dans le cas réel, le produit scalaire prend la forme suivante :

\forall x,y \in E \quad \varphi(x,y)=\frac14\Big(N(x+y)^2 - N(x-y)^2\Big)

qui donne une forme bilinéaire symétrique. La démonstration est donnée dans l'article Identité de polarisation.

Exemples

  • L'exemple archétypal est celui des suites S à valeur dans C presque nulles, c'est-à-dire les suites qui sont nulles à partir d'un certain rang. Le produit scalaire est défini de la manière suivante :
\forall (u_n), (v_n) \in S \quad \langle (u_n) \, , \, (v_n) \rangle = \sum_{n \in \mathbb N} u_n\bar v_n

L'espace n'est pas complet car la suite de suites (uin) tel que uin est égal à 1/i+1 si i est plus petit que n et 0 sinon est de Cauchy mais ne converge pas.

  • L'espace des fonctions continues de Ω dans K à support compact et muni du produit scalaire :
\langle f , g \rangle = \int_{\Omega} f(x) \overline{g(x)} \mu(dx)

forme un espace préhilbertien.

  • L'espace des fonctions de Ω dans K de carré intégrable et muni du même produit scalaire est aussi un préhilbertien. Il est en revanche non séparé. Les fonctions presque nulles, c'est-à-dire nulles partout sauf sur un ensemble négligeable ont une semi-norme nulle. L'intégrale définissant le produit scalaire est toujours convergente. En effet l'inégalité de Cauchy-Schwarz montre que :
\int_{C} |f(x) \overline{g(x)}| \mu(dx) \, \le \, \sqrt {\int_{\Omega} f(x) \overline{f(x)}\mu(dx)} \sqrt {\int_{\Omega} g(x) \overline{g(x)}\mu(dx)}

Propriétés

Topologie

Article détaillé : Espace vectoriel topologique.

Comme pour l'étude des différents espaces fonctionnels, l'absence d'hypothèse sur la dimension impose l'utilisation de nouveaux outils. L'essentiel des techniques de la dimension finie s'avère en effet inopérant. La topologie induite par le produit scalaire est suffisamment spécifique pour établir d'importants résultats. L'analyse de cette topologie dans le cadre général des espaces vectoriel normés montre qu'elle est compatible avec les lois de composition de l'espace vectoriel. Pour être précis, l'addition, la multiplication externe et la norme sont continues pour cette topologie. Les boules ouvertes de centre un point x de l'espace forment une base de voisinages, elles sont convexes.

Elles possèdent une propriété supplémentaire. Les boules sont bien arrondies : les segments suffisamment longs inclus dans une boule ont leur milieu relativement loin du bord. Cette propriété s'exprime de la manière suivante :

\forall \epsilon>0,\; \exists \delta>0 ,\; \forall x,y \in \mathcal{B}(1,0) \quad \|x-y\|>\epsilon \Rightarrow \frac 12 \|x+y\|< 1-\delta

Ici, B(1,0) désigne la boule de rayon un et de centre le vecteur nul. Cette propriété ne confère pas au préhilbertien le statut d'espace uniformément convexe car il n'est pas nécessairement complet[2].

Démonstration

C'est une conséquence de l'identité du parallélogramme. Il suffit de remarquer que :

\|x+y\|^2= 2\Big(\|x\|^2 + \|y\|^2\Big) - \|x-y\|^2 \le 2 - \epsilon^2.

Sous-espace et espace produit

Tout sous-espace vectoriel d'un préhilbertien est un préhilbertien pour la restriction du produit scalaire.

Soit E et F deux préhilbertiens, alors le produit scalaire <.,.>ExF défini par l'égalité suivante, confère au produit ExF le statut d'espace préhilbertien :

\forall (x,y)\,(x',y') \in E\times F \qquad \langle(x,y),(x',y')\rangle_{E\times F} = \langle x,x'\rangle_E + \langle y,y'\rangle_F

Espace quotient

Soit F un sous-espace fermé de E, l'analyse générale des espaces vectoriels normés montre que E/F est un espace vectoriel normé pour la norme suivante :

\forall \bar x \in E/F \quad \|\bar x\|_{E/F} = \min_{x\in \bar x} \|x\|_E \quad \text {ici} \quad \|\bar x\|_{E/F} = \sqrt {\min_{x\in \bar x} \langle x,x\rangle_E}

Dans le cas d'un préhilbertien, cette norme dispose d'une propriété forte :

  • La norme issue du quotient de E est associée à un produit scalaire. Il est donné par la formule suivante :
\forall \bar x,\bar y \in E/F, \quad \langle \bar x,\bar y\rangle=\frac14(\|\bar x+\bar y\|^2- \|\bar x-\bar y\|^2 + i\|\bar x+i\bar y\|^2 - i\|\bar x-i\bar y\|^2)

Ainsi, le quotient est aussi un espace préhilbertien.

Si F est non seulement fermé mais complet, il possède un supplémentaire orthogonal dans E, et ce supplémentaire est isomorphe à E/F. Ceci permet de définir la projection orthogonale sur F.

Cette configuration est analogue dans le cas d'un semi-produit scalaire. L'analyse d'une semi-norme montre que l'ensemble des vecteurs de semi-norme nulle est un sous-espace vectoriel fermé. Cette propriété amène à la définition suivante :

  • Le noyau d'un semi-produit scalaire est l'ensemble des vecteurs orthogonaux à l'espace entier.

Encore une fois, la configuration analysée pour les semi-normes est compatible avec celles des préhilbertiens non séparés.

  • Le noyau d'un semi-produit scalaire est le noyau de la semi-norme associé.

Ainsi, un vecteur est de semi-norme nulle si et seulement s'il est orthogonal avec tous les vecteurs de l'espace. Comme pour le cas des semi-normes, il devient possible de quotienter un préhilbertien non séparé par le noyau du semi-produit scalaire :

  • Le quotient d'un préhilbertien non séparé par le noyau du semi-produit scalaire est un préhilbertien séparé.

Comme dans le cas des espaces vectoriels munis d'une semi-norme, cette technique est utilisée en analyse fonctionnelle pour disposer d'un espace séparé. Un exemple est donné par les fonctions F nulles en dehors de Ω et intégrables (au sens de Riemann, c'est bien suffisant). Pour éviter les difficultés liées aux intégrales impropres, on peut supposer de plus que Ω est bornée. Le semi-produit scalaire naturel est le suivant :

\forall f,g \in F \quad \langle f,g \rangle = \int_{\Omega} f(x) \overline{g(x)} dx

Le noyau F0 du semi-produit scalaire est composé des fonctions de F nulles partout sauf peut-être sur un ensemble négligeable de Ω. Cet ensemble est l'orthogonal de F. Le quotient de F par F0 désigne l'ensemble de classes de fonctions intégrables et nulles en dehors de Ω et qui ne diffèrent que sur un ensemble de mesure nulle.

Démonstrations
  • La norme issue du quotient de E est associée à un produit scalaire. Il est donné par la formule suivante :
\forall \bar x,\bar y \in E/F, \quad \langle \bar x,\bar y\rangle=\frac14(\|\bar x+\bar y\|^2- \|\bar x-\bar y\|^2 + i\|\bar x+i\bar y\|^2 - i\|\bar x-i\bar y\|^2) \quad \text {avec} \quad \|\bar x\| = \sqrt {\min_{x\in \bar x} \langle x,x\rangle}
  • Le noyau du semi-produit scalaire est le noyau E0 de la semi-norme associée :

Soit x0 un élément de E0, y un élément de E et t un réel. La semi-norme de x0 + t.y est toujours positive, donc :

\langle tx_0 + y, tx_0+y\rangle = \| y \|^2 + 2t \, \mathfrak R\,\langle x_0,y\rangle \ge 0

Le fait que l'égalité précédente soit positive pour toute valeur de t montre que la partie réelle du semi-produit scalaire de x0 et y est nulle. Le même calcul appliqué à i.y, si i désigne l'imaginaire pure montre que la partie imaginaire du semi-produit scalaire est aussi nulle. Réciproquement, tout élément du noyau du semi-produit scalaire est orthogonal à l'ensemble entier dont à lui-même et fait donc partie du noyau de la semi-norme, ce qui termine la démonstration.

  • Le quotient d'un préhilbertien son séparé par le noyau du semi-produit scalaire est un préhilbertien séparé.

Cette propriété est générale à toute semi-norme, (cf. l'article semi-norme).

Base

Article détaillé : Base de Hilbert.

L'un des attraits d'un préhilbertien réside dans le fait que, sous des hypothèses très générales, il existe une base de Hilbert ayant des propriétés proches de celle d'une base au sens algébrique du terme.

A la différence de la dimension finie, il n'est plus possible d'exprimer un vecteur comme une somme ne comportant qu'un nombre fini de termes non nuls. Le vecteur apparaît comme la limite d'une série dont l'ensemble des termes non nuls est dénombrable. En revanche la convergence étant absolue, l'ordre de la série n'a guère d'importance.

L'existence n'est pas toujours garantie. En revanche, elle est assurée à l'aide du lemme de Zorn si l'espace est complet. Et, à l'image de tous les espaces vectoriels normés, il est relativement simple de compléter un préhilbertien.

Cette existence assurée par la complétude n'est pas totalement satisfaisante. L'utilisation de l'axiome du choix dans le lemme de Zorn rend la méthode inutilisable pour une construction effective d'une telle base. En revanche le théorème de Stone-Weierstrass montre que de nombreux espaces fonctionnels sont séparables. Cette hypothèse supplémentaire est suffisante pour garantir l'existence d'une base de Hilbert sans l'utilisation de l'axiome du choix. Le Procédé de Gram-Schmidt permet de construire effectivement une telle base. Les polynômes trigonométriques ou ceux de Legendre sont des exemples pour l'espace des fonctions sur un segment des nombres réels, de carrés intégrable au sens de Lebesgue.

Complétude

Article détaillé : Espace de Banach.

Il est possible de compléter un espace vectoriel normé. Pour être précis, il existe un K espace vectoriel normé H et J une isométrie linéaire injective de E dans H tel que l'image de E par J soit dense dans H. Si M est un réel strictement positif, produit scalaire est une application uniformément continue du produit cartésien de la boule de rayon M avec elle même dans K. Comme K est un espace complet, car les réels et les complexes le sont, il se prolonge par continuité sur cette boule. Comme il n'existe qu'un unique prolongement par continuité (cf. l'article Continuité uniforme), pour deux vecteurs, ce prolongement ne dépend pas de la boule les contenant tous deux. Enfin, comme tout couple de vecteurs est inclus dans une boule, il est possible de prolonger le produit scalaire sur H.

La racine carrée du prolongement du produit scalaire appliquée sur deux fois le même vecteur est un prolongement par continuité de la norme. L'unicité de ce prolongement montre que J est une isométrie d'espace préhilbertien.

Opérateur borné

Article détaillé : Opérateur borné.

Les opérateurs bornés sont ceux par lesquels l'image de la boule unité est bornée. Ce sont les opérateurs continus. Sur un préhilbertien complexe on a la propriété suivante :

  • Soient a un opérateur sur un préhilbertien complexe E, et b la borne supérieure de la fonction de la boule unité dans R+ qui à x associe |<a(x), x>|. Alors la majoration suivante est vérifiée :
\forall x,y \in E\quad |\langle a(x),y\rangle | + |\langle x,a(y)\rangle| \le 2b\|x\|.\|y\|\ ;
  • en particulier
    • si b est fini alors a est borné ;
    • si, pour tout x élément de E, a(x) est orthogonal à x, alors a est nul.

Sur un préhilbertien réel, ce résultat n'est pas vrai. (Un contre-exemple est fourni, dans le plan, par une rotation d'un quart de tour.)

Il est utilisé par exemple pour l'étude des opérateurs compacts autoadjoints[3].

Démonstration

Supposons que x et y sont de norme 1 et démontrons que

|\langle a(x),y\rangle| + |\langle a(y),x\rangle| \le 2b.

On calcule d'abord (en développant le membre de gauche) :

\langle a(x+y),x+y\rangle -\langle a(x-y),x-y\rangle = 2\langle a(x),y\rangle + 2\langle a(y),x\rangle,

d'où (en utilisant l'identité du parallélogramme et l'hypothèse sur x et y) :

|2\langle a(x),y\rangle + 2\langle a(y),x\rangle|\le b\Big(\|x+y\|^2 + \|x-y\|^2\Big)=2b\Big(\|x\|^2 + \|y\|^2\Big)=4b.

Soient θ1, θ2 des arguments respectifs des complexes <a(x),y> et <a(y),x>. Pour tout angle μ, les arguments correspondants de <a(x), exp(iμ)y> et de <a(exp(iμ)y),x> sont respectivement θ1-μ et θ2+μ, donc sont égaux si l'on choisit μ=(θ1 - θ2)/2. En remplaçant y par exp(iμ)y dans la majoration précédente, on obtient alors l'inégalité recherchée :

|\langle a(x),y\rangle| + |\langle a(y),x\rangle| \le 2b.

Structure du dual

Le dual possède des propriétés essentielles, à l'origine de la spécificité de la norme euclidienne (issue du produit scalaire) par rapport à une norme quelconque. Les conséquences sont aussi multiples que profondes. Ici, le terme « dual » est à prendre au sens dual topologique, c'est-à-dire que ne sont étudiées que les formes linéaires continues. Le dual est ainsi un espace vectoriel normé par la norme d'opérateur.

Tout d'abord, il possède la propriété, a priori manquante à E et pourtant si utile :

Ensuite, il existe un application canonique semi-linéaire (donc ℝ-linéaire) φ de E dans son dual : pour tout élément x de E, φ(x) est la forme linéaire continue qui à y associe <y, x>. Cette application est isométrique (c'est-à-dire qu'elle conserve la norme, sans toutefois être nécessairement surjective). Elle est par conséquent injective.

  • L'application ℝ-linéaire canonique de E dans son dual est une injection isométrique.

Cette injection n'est surjective que si E est complet. En général on a « seulement » :

  • L'image canonique de E dans son dual est dense.

Il existe ainsi une autre manière de compléter E, il suffit de l'identifier à une partie de son dual. Le dual est alors le complété. Comme il n'existe qu'une complétion à un isomorphisme isométrique près, cette méthode donne un résultat équivalent à la méthode générique de complétion d'un espace vectoriel normé[4]. Le dual est complet et uniformément convexe, le théorème de Milman–Pettis montre qu'il est alors réflexif. Il possède néanmoins des propriétés plus fortes, développées dans l'article Espace de Hilbert.

Par ailleurs, cette densité permet d'étendre le produit scalaire, défini sur cette image quand elle est identifiée à E via φ, au dual tout entier. On vérifie alors que la norme d'opérateur (qui faisait du dual un espace vectoriel normé complet) est en fait induite par ce produit scalaire, si bien que :

  • La norme sur le dual est induite par un produit scalaire, ce qui fait du dual un espace de Hilbert.
Démonstrations
  • L'espace dual est complet.

Un élément du dual est une application linéaire continue à valeurs dans un espace vectoriel normé complet (le corps de base : ℝ ou ℂ), or l'ensemble des applications linéaires continues d'un espace vectoriel normé dans un espace complet est complet (une démonstration est donnée dans le paragraphe « Complétude » de l'article « Espace vectoriel normé ».)

  • L'application ℝ-linéaire canonique de E dans son dual est une injection isométrique.

Pour tout élément x de E, d'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz, la norme de φ(x) est inférieure ou égale à celle de x. L'égalité s'obtient en appliquant à φ(x) au vecteur x. Ainsi, φ préserve la norme, donc est injective.

  • L'image canonique de E dans son dual est dense.

Soient δ une forme linéaire continue non nulle et ε un réel strictement positif. L'objectif est de trouver un vecteur y tel que la distance entre δ et φ(y) soit inférieure à ε.

Notons H le noyau de δ (c'est un hyperplan fermé), v un vecteur de E tel que δ(v) = 1, λ la distance entre v et H (elle est strictement positive), et choisissons un réel
\eta>0\quad\text{tel que}\quad\eta(2+\eta)\le\varepsilon\lambda,
puis un vecteur
h\in H\quad\text{tel que}\quad\|v-h\|^2\le\lambda^2\left(1+\eta^2\right)

et définissons le vecteur y par :

y=\frac{v-h}{\|v-h\|^2}.

Il ne reste plus qu'à montrer que y est le vecteur recherché. Pour cela, il suffit de montrer que pour tout vecteur unitaire x,

|\varphi(y)(x)-\delta(x)|\le\varepsilon.

La droite engendrée par y et l'hyperplan H sont supplémentaires car y n'appartient pas à H. Il existe donc un scalaire α et un vecteur k de H tels que

x=\alpha y+k.~

On calcule alors la quantité que l'on cherche à majorer par ε :

|\varphi(y)(x)-\delta(x)|=|\langle\alpha y+k,y\rangle-\alpha\delta(y)-\delta(k)|=|\alpha\delta(y)+\langle k,y\rangle-\alpha\delta(y)-0|=|\langle k,y\rangle|.

Or pour tout scalaire t,

\lambda^2=(d(v,H))^2\le\|v-(h-tk)\|^2=\|v-h\|^2+2\operatorname{Re}(t\langle k,v-h\rangle)+|t|^2\|k\|^2,

ce qui, pour t=-\frac{\langle v-h,k\rangle}{\|k\|^2}, donne :

\lambda^2\le\|v-h\|^2-\frac{|\langle k,v-h\rangle|^2}{\|k\|^2}\le\lambda^2\left(1+\eta^2\right)-\frac{|\langle k,v-h\rangle|^2}{\|k\|^2}.

On en déduit :

|\langle k,v-h\rangle|\le\lambda\eta\|k\|,\quad\text{donc}\quad|\langle k,y\rangle|\le\frac{\lambda\eta\|k\|}{\|v-h\|^2}\le\frac{\eta\|k\|}\lambda.

Il reste à majorer la norme de k, en utilisant que celle de x vaut 1 :

1=\left\|\alpha\frac{v-h}{\|v-h\|^2}+k\right\|\ge\frac{|\alpha|\lambda}{\|v-h\|^2}

donc

|\alpha|\|y\|\le\frac{\|v-h\|}\lambda\le 1+\eta,

si bien que la norme de k est majorée par 2 + η. On peut alors conclure :

|\langle k,y\rangle|\le\frac{\eta(2+\eta)}\lambda\le\varepsilon.
  • La norme sur le dual est induite par un produit scalaire, ce qui fait du dual un espace de Hilbert.

Il est en effet possible, par φ, de « transporter » sur l'image de E le produit scalaire de E. Sur φ(E), ce « produit scalaire transporté » est une application bilinéaire continue (de norme inférieure ou égale à 1) ; c'est donc une application uniformément continue sur (B×B)∩φ(E) pour toute partie bornée B du dual. Par le théorème de prolongement, le « produit scalaire transporté » possède donc un unique prolongement continu à tous ces B×B, donc à leur réunion : le produit du dual par lui-même. Par densité et continuité, ce prolongement est encore, sur le dual tout entier, un produit scalaire induisant la norme.

Notes et références

  1. ↑ Les deux expressions sont utilisées par exemple dans : S. Lang, Analyse réelle, InterEditions, Paris, 1977 (ISBN 978-2-72960059-4), p. 150.
  2. ↑ L'utilisation de l'uniforme convexité pour l'étude du produit scalaire est par exemple suivi dans Haïm Brezis, Analyse fonctionnelle : théorie et applications [détail des éditions], p. 51.
  3. ↑ Ces propriétés sont démontrées par exemple dans S. Lang, op. cit., p. 158-159.
  4. ↑ La méthode consistant à compléter le préhilbertien à l'aide du dual est utilisée pour des présentations plus didactiques évitant de traiter dans un contexte trop général les espaces fonctionnels, un exemple est : J.-P. Aubin, Analyse fonctionnelle appliquée, PUF, 1987 (ISBN 978-2-13039264-4).
  • Walter Rudin, Analyse réelle et complexe [détail des éditions]

Liens externes


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