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Jeu à somme nulle
Un jeu de somme nulle est un jeu où la somme des gains de tous les joueurs est égale à 0.
Par exemple si l'on définit le gain d'une partie d'échecs comme 1 si on gagne, 0 si la partie est nulle et -1 si on perd, le jeu d'échecs est un jeu à somme nulle.
En économie, cette notion simplificatrice est importante : les jeux à somme nulle correspondent à l’absence de production ou de destruction de produits.
En 1944, John von Neumann et Oskar Morgenstern ont démontré que tout jeu à somme nulle pour n personnes n’est en fait qu’une forme généralisée de jeux à somme nulle pour deux personnes, et que tout jeu à somme non nulle pour n personnes peut se ramener à un jeu à somme nulle pour n + 1 personnes, la n+1-ième personne représentant le gain ou la perte globale. Pour une critique pertinente de ce point de vue lire: Jeux de stratégie à somme nulle et non nulle.
De ce fait, les jeux à somme nulle pour deux personnes ou deux entités constituent la partie essentielle de la théorie mathématique des jeux à somme nulle. Par son théorème du minimax, von Neumann a prouvé déjà en 1926 qu'ils admettent des équilibres. En 1950, John Forbes Nash démontre que tout jeu à somme non nulle pour n personnes, possède au moins un équilibre de Nash en stratégies mixtes.
Le journaliste et auteur Robert Wright a utilisé ce concept en sociologie pour parler des bénéfices de l'interdépendance dans une société développée.
Sommaire
Exemples de jeux synchrones à somme nulle
La modélisation de phénomènes réels par des jeux à somme nulle n'est que rarement raisonnable, tant elle nécessite de formuler des hypothèses simplificatrices éloignées de toute vraisemblance. Elle est toutefois utilisée à des fins pédagogiques, avec les avertissements qui s'imposent quant au peu de pertinence du modèle.
La modélisation des exemples ci-dessous à l'aide de matrices des gains est exposée aux articles Jeu sous forme normale et Théorème du minimax de von Neumann.
Un modèle économique
On considère deux firmes A et B, en concurrence sur le marché d'un produit dont le coût de production unitaire est de 1 euro. Lorsque le produit est proposé sur le marché à 2 euros, il y a 100 clients prêts à l'acheter ; si le prix proposé est de 3 euros, il ne reste plus que 50 acheteurs qui accepteront de payer ce prix.
Chaque firme choisit indépendamment et dans l'ignorance du choix de son concurrent de fixer son prix de vente à 2 ou 3 euros. Si les deux firmes choisissent le même prix de vente, elles se partagent le marché par moitié (leurs produits étant supposés indiscernables) ; en revanche si l'une choisit de vendre à 2 euros tandis que sa concurrente tente le prix élevé, elle obtient la totalité du marché.
La situation est donc la suivante :
- si A et B vendent à 2 euros, chacun fait un bénéfice de 50 euros (1 euro de bénéfice fois 50 acheteurs) ;
- si A vend à 2 euros et B à 3 euros, c'est A qui emporte le marché et gagne 100 euros, tandis que B ne gagne rien ;
- si A vend à 3 euros et B à 2 euros, la situation est symétrique ;
- si A et B vendent à 3 euros, chacun fait un bénéfice de 50 euros (2 euros de bénéfice fois 25 acheteurs).
En mesurant le gain par l'excès du bénéfice à 50 euros, la matrice de ceux-ci est donc :
A fixe son prix à 2 euros A fixe son prix à 3 euros B fixe son prix à 2 euros 0 -50 B fixe son prix à 3 euros 50 0 La matrice a un point-selle, le coin supérieur gauche. La stratégie rationnelle est donc pour les deux entreprises de proposer le prix le plus faible.
Le modèle est bien sûr invraisemblablement primaire est sans intérêt autre que pédagogique[1].
Un modèle militaire
Tout aussi primaires sont les jeux du Colonel Blotto. Ce sont des jeux où l'espace des stratégies pures est un ensemble d'allocations possibles d'un nombre fini de ressources.
En voici un exemple : deux nations, disons la Bordurie et la Syldavie, sont en guerre. La première dispose de 4 armées, la seconde de 3 armées. Il y a deux fronts, un front nord et un front sud, et il n'est pas admis d'en dégarnir complètement un. Les armées ne peuvent être scindées. La Syldavie dispose donc de 2 stratégies pures : envoyer 2 armées au nord et 1 au sud ou le contraire, qu'on notera (2,1) et (1,2) ; de son côté la Bordurie dispose des stratégies pures (3,1), (2,2) et (1,3). On suppose ensuite qu'en cas d'égalité numérique sur un front, la bataille y est indécise et son gain est nul pour les deux parties ; mais qu'en cas de déséquilibre, il y a victoire de la puissance qui a envoyé les forces les plus importantes. Les deux fronts ne sont pas d'importance égales : une victoire au nord est évaluée à une valeur de « a », une victoire au sud à une valeur de « b ».
La matrice des gains est alors la suivante, les lignes représentant les stratégies syldaves et les colonnes les stratégies bordures[2] :
(3,1) (2,2) (1,3) (2,1) a b b-a (1,2) a-b a b Notes et références
- ↑ Cet exemple est évoqué dans un cours de management à la Rai Foundation, disponible en ligne (consulté le 15 février 2009)
- ↑ Cet exemple est issu de (en) Ken Binmore, Playing for Real: A Text on Game Theory, Oxford University Press US, 2007 (ISBN 9780195300574), exercice 30, p. 250
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Catégorie : Théorie des jeux
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