Inégalité de huygens

Inégalité de huygens

Inégalité de Huygens

L'inégalité de Huygens est un résultat mathématique établissant que, sur l'intervalle \left[{0};\frac{\pi}{2}\right[ de \mathbb{R}, l'inégalité suivante est vérifiée : 2\sin x + \tan x \geq 3x.

Démonstration

Soit f fonction qui à tout x de \left[{0};\frac{\pi}{2}\right[, associe f(x) = 2\times\sin{x} + \tan{x} - 3x.
Comme somme de fonctions de classe C∞ sur l'intervalle considéré, f est continument dérivable une infinité de fois sur ce même intervalle.
La fonction dérivée de f est la fonction f' qui à tout x de l'intervalle considéré associe : f'(x)=\frac{2\cos^{3}x-3\cos^{2}x+1}{\cos^{2}{x}}.
Sur l'intervalle considéré, les inégalités suivantes sont vérifiées : \forall x, \cos^{2}x > 0 et \forall x (\cos x -1)^{2}(2\cos{x}+1)\geq 0 .
Donc, \forall x \in \left[{0};\frac{\pi}{2}\right[, f'(x)\geq 0 et la fonction f est croissante sur l'intervalle considéré.
On remarque l'égalité : f(0) = 0 donc, par conséquent : \forall x \in \left[{0};\frac{\pi}{2}\right[, f(x) \geq 0 \Leftrightarrow \forall x \in \left[{0};\frac{\pi}{2}\right[, 2\sin x + \tan x \geq 3x

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